Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковского— Чаплыгина, можно по формулам (86), (80) или (81) получить выражение величины подъемной силы в виде
R = Ажат^р \ Vco |2 sin (є0 — (Jco) = 4іго/ислр | V00 |a sin a, (87)
впервые указанном Чаплыгиным.
Входящее в эту формулу произведение Um03 зависит от формы обтекаемого контура, так, например, по предыдущему (см. конец § 42)
для пластинки Amco = -^-C, и подъемная сила оказывается равной
R =2irpc J Vco|asina. (87')
В общем случае подъемная сила, согласно (87), оказывается пропорциональной плотности жидкости, квадрату скорости набегающего потока и синусу угла атаки.
Введем коэффициент подъемной силы как отношение подъемной
силы R к скоростному напору набегающего потока -^pVl0 к длине
хорды. Обычно ось О$ направляют по скорости Voa, тогда подъемная сила будет направлена по оси Oy и может быть обозначена через У или Ry. Вот почему коэффициент подъемной силы в нашей литера-
1 См. ранее цитированные работы Н. Е. Жуковского, ?. 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО O ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА
283
туре принято обозначать через Cy, а коэффициент сопротивления-через Cg..
При этом обозначении будем иметь (b — хорда):
TPlVcoPb
атт
sin а,
(88)
или в частном случае пластинки (b = 2с):
Cw = 2« sin е. (88')
Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых углах атаки, при которых только и выполняется условие плавного схода струй с задней кромки, формула (88'), переписанная в виде (sin а = а)
Cy = 6,28а,
довольно хорошо отражает действительную закономерность: коэффициент подъемной силы прямо пропорционален углу атаки, отсчитанному от бесциркуляционного направления, но коэффициент пропорциональности 2и = 6,28 оказы-
W
IZ
0,4
вается несколько завышенным. На рис. 90 представлены для сравнения теоретическая прямая и экспериментальная кривая Cy (а) для симметричного профиля с отношением максимальной толщины к хорде, равным 9°/о- Как видно из рисунка, в интервале углов атаки — 13° < а < 13° (область отрицательных углов на рисунке не представлена, но она в силу симметричности профиля ничем не отличается от области положительных углов) расхождение между теоретическим коэффициентом подъемной силы пластинки и экспериментальным для тонкого профиля невелико.
Применять формулы Жуковского и Чаплыгина (86) и (87)
к пластинке, строго говоря, нельзя, так как на переднем остром крае пластинки скорость обращается в бесконечность, что нарушает непрерывность обтекания. Становится непонятным, как вообще на пластинке может возникнуть сила, перпендикулярная направлению ее движения.
і' M ^JJ \
Мі \ W \
/й Г І/ и ^^Шг»-j І=»*
10°
Рис. 90.
ZO0
Oi 284
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИг ЖИДКОСТИ
і пі. V
Действительно, при отсутствии трения нормальные к поверхности пластинки силы давления должны дать главный вектор, направленный также по перпендикуляру к плоскости пластинки, а не к скорости на бесконечности, как этого требует теорема Жуковского. При этом, наряду с подъемной силой, имелась бы и сила сопротивления. Этот парадокс был разъяснен Жуковским во второй из ранее цитированных статей. При действительном обтекании пластинки передний ее край представляет собою на самом деле некоторую поверхность очень малого радиуса кривизны, на которой возникает значительное разрежение, приводящее к направленной против течения „подсасывающей" силе, уничтожающей сопротивление.1
§ 44. Применение метода комплексных переменных к выводу теоремы Жуковского. Формулы Чаплыгина для главного вектора и момента сил давления потока на крыло
Вывод теоремы Жуковского, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был дан в 1910 г. С. А. Чаплыгиным, 2 который по-д лучил общие формулы
главного вектора и главного момента сил давления потока на
крыло.
Рассмотрим крыловой контур С (рис. 91) в безвихревом плоскопараллельном потоке идеальной несжимаемой жидкости, набегающей на профиль со скоростью Vco.
Составим выражения главного вектора R и главного момента L0 относительно пер-Рис. 91. пендикулярной к пло-
скости течения оси,
проходящей через начало координат. Используя теорему Бернулли
PlVI2
р = const —г л- ,
1 Подробнее см. цитированные сочинения Н. Е. Жуковского, а также В. В. Г о л у б е в, Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке. Гос-техиздат, 1938, стр. 154.
2 С. А. Чаплыгин, О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела (к теории аэроплана). Матем. сб., т. XXVIII, 1910. § 44]
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
285
будем иметь, как и в предыдущем параграфе, выражение главного вектора:
R = -(?»tids = Irf I F|2nds
: = -|pnds = -|-||F|2
и главного момента:
L0 = — <? проек. (г X п) р ds = і (С (хпу —упх) \ V |2 ds. в в
Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметим, что (рис. 91):
n = — ie'tb, ds = dz ' c~ib, хпу—упх = д. ч. (izn); (д. ч. — действительная часть) кроме того, на контуре С можно положить
