Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
R = J pa" ds,
с
где п' — нормаль, внешняя по отношению к рассматриваемому объему жидкости. Таким образом, по предыдущей формуле получим выражение искомой силы R через главный вектор давлений и перенос количества движения, относящийся к контуру удаленного от профиля круга Cr:
R = - Cpnds-JpVK„ ds. (82)
І °г
По теореме Бернулли
pl/2
P = const -,
причем, как мы уже знаем, постоянная, стоящая справа, имеет в случае безвихревого движения одинаковое значение во всей области течения, а следовательно, и на круге Cr, так что
R = |- ^ V*nds— ^9MVn ds. (82')
Cr сг
Разложим вектор скорости V на два слагаемых, положив
V = Vra+ V',
где V00 — скорость в бесконечном удалении от профиля, а V' — скорость возмущения, вносимого профилем в однородный плоскопараллельный поток. Относительно этой убывающей до нуля с удалением от обтекаемого тела скорости возмущений будем предполагать, что ее модуль V' убывает с ростом расстояния г от начала координат,
вблизи которого помещен профиль, как -у. Это предположение соответствует наличию „присоединенного" к телу вихря и конечности Циркуляции скорости по любому замкнутому контуру, например, окружности Cr длины 2тгг; подробнее о порядке скорости возмущения будет сказано далее. 280 плоское безвихревое движениг жидкости і пі. v
Подставляя указанное разложение скорости в равенство (82'), получим:
R—i-pVifiufc + p !"(V00- V')nds + ±P f V'\ds —
К К К
—pV« [ Vnds — p [VVcora^-р j VV'nds.
с
г
По предыдущему [гл. I, формула (68)], первый интеграл равен нулю; пропадает также четвертый интеграл, так как при отсутствии источников—стоков и несжимаемости жидкости полный расход жидкости сквозь контур Cr равен нулю:
J Vn ds = 0.
Сг
Рассмотрим совокупность второго и пятого интегралов: J [(Vco ¦ V') n — V' Vam] ds = J [(Vco -VOn — (Vco - n) V'] ds,
с,- Gr
которую по известной формуле разложения тройного векторного произведения можно представить как
f Vco X (П X VOds, с
і
или, заменяя V' на V-J-Vco = V, что можно сделать, так как при этом добавится интеграл
[ Vra X (n X Vra) ds = V„ X ( Г n ds X VtJ, Gr cr J
тождественно равный нулю, получим
J Vco X (n X V)ds = Vco X J П х Vds. с,. сг
Таким образом, будем иметь следующее выражение для главного вектора сил давления потока на профиль С:
R = PV00X fnXV&+jpfv"2n&-p[vV;&. (83)
Cr
с
T
Вектор
! X Vffe ?. 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО O ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 281
авлен п0 перпендикуляру к плоскости движения, а его проекция Г2 н дТ0Т перпендикуляр, которую мы обозначим просто через Г и будем считать знак входящим в определение величины Г, окажется равной (рис. 89)
Г = J Fsin(IiTv) ds= J Vcos(M) ds= j V8ds,
Сг °г °г
т. е. циркуляции скорости по контуру Cr или по любому другому контуру» охватывающему обтекаемый профиль. Таким образом, первое слагаемое в выражении главного вектора сил R не зависит от
1
положения контура Cr, остальные два имеют порядок —, так как
подинтегральные функции представляют величины порядка , а длина
контура интегрирования равна 2этг. Отсюда при переходе к пределу, когда окружность Cr удаляется на бесконечность (г -»¦ оо), следует искомая формула
R = PVco X Г, (84)
где вектор Г определяется как криволинейный интеграл
Г = n X V <fs, (85)
Со
взятый по любому контуру C0, охватывающему обтекаемый профиль С, в частности по самому профилю С. Величина этого вектора равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему профиль.
Из равенства (84) находим величину главного вектора сил давления потока на тело:
R = P V001Г |. (86)
Главный вектор, как показывает формула (84), лежит в плоскости течения и направлен перпендикулярно к скорости на бесконечности в сюрону, определяемую век горным произведением (84). Обычно бывает очень трудно заранее определить, в какую сторону направлен вектор Г: внутрь или наружу относительно плоскости чертежа. Если известно направление обхода контура, при котором Г > 0, это направление условно называют направлением положительной цир-кУляции, или, короче, „направлением циркуляции"—тогда по общим правилам принятого у нас в курсе „правого винта" легко найти и сторону, в которую направлен вектор Г. Так, если направление циркуляции совпадает с вращением по часовой стрелке, а поток набегает слева, вектор Г направлен вглубь чертежа, а сила R — вверх; это Же можно получить, если вектор скорости Vco повернуть на 90° в сторону, противоположную циркуляции. 282
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИг ЖИДКОСТИ
і пі. V
Таким образом, приходим к классической формулировке теоремы Жуковского, данной самим автором: сила давления невихревого потока, текущего со скоростью V00 и обтекающего контур с циркуляцией Г, выражается формулой:
R = р VcoI1;
направление этой силы мы получим, если вектор V00 повернем на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.1
Первый вывод, который следует сделать из теоремы Жуковского, заключается в отсутствии составляющей силы, направленной вдоль движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела по отношению к жидкости, т. е. отсутствии силы сопротивления. Этот важный факт составляет содержание парадокса Даламбера, о котором была речь в историческом очерке, помещенном во вводной части курса. Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для любого плоского безвихревого движения идеальной жидкости как при наличии „присоединенных вихрей", так и при отсутствии их. Единственной силой, действующей на обтекаемый профиль, оказывается поперечная движению тела сила, которая может быть названа подъемной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечивает подъем аэроплана в воздух, поддерживает его крыло при горизонтальном полете.
