Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
_/du'
1л Лої,
I •
у-О
Подставляя сюда выражение 8Л, согласно (29), получим:
= (29')
Формулы (29) и (29') заключают в себе новую константу а, которая вместе с уже ранее введенной константой v. представляет совокупность двух характерных констант турбулентности. Определить эти две константы в настоящее время можно только из опытов, причем только опыты могут подтвердить тот основной факт, что X и а действительно представляют постоянные величины, не зависящие ни от физических свойств жидкости, ни от скорости движения, ни от размеров трубы, или, более точно, не зависят от рейнольдсова числа.
Используем для определения констант формулу распределения скоростей (27), правильность которой в турбулентном ядре течения вблизи ламинарного подслоя (у <С1 Щ подтверждается и точными и приближенными соображениями подобия. Полагая в равенстве (27) у = 8Л, и = «л, определяя С и исключая его из (27), будем иметь:
и = In-4-осу.. — — In а,
у. V1"*.
или, переходя от натуральных логарифмов к десятичным,
—= ШіцХЬ + а _^3Iog(30)
Vh х. v 1 х. е v '
39* 612
турбулентное движений
ігл. ix
На рис. 192 приводится сводка результатов ранее цитированных опытов Никурадзе, проведенных в широком диапазоне рейнольдсовых
чисел и обработанных в координатах о =- — , 73 =
log . Как это
следует из графика, экспериментальные і очки вполне удовлетворительно располагаются по прямой
: 5,75 log ^T -f 5,5.
(31)
Сравнивая экспериментально полученные коэффициенты в формуле (31) с соответствующими теоретическими величинами, входящими
...... ,Л
?
I
—
О R = k IO3 • R = 6,1 IO3 ' R- 9,2 W3 • R= 16,7 W3 в R=23,3 IO3 . /? = IO3 о R = 105,0 W3 • R=205,0 IO3 » Я = 398,0 W3 - R = 725,0 W3 - R = WO IO3 * R = 1536 IO3 * R = 1959,0 IO3 + R=2350,0 IO3 • R = 2790,0 IO3 • R=3240.0 IO3
O-
Г
• 0 і"
® о
-11?"
w а іл і,в 1,8 г,о г,г и г,б 2,8 з,о з,г з,и з,в з,в 4,с к,г k,ч w \8 %о
Рис. 192.
в коэффициенты формулы (30), найдем вновь / — 0,40, а значение а оказывается близким к 11,5.
Невозможность чисто теоретического определения констант 7 и а делает изложенную теорию турбулентної о движения в трубе полу-эмпирической.
Располагая формулами распределения скоростей и выражением для толщины ламинарного подслоя и скорости на внешней его границе, легко выведем и искомые формулы сопротивления.
Напомним, что, аналогично тому, как это было сделано в теории ламинарного движения в трубах (§ 79), задача сводится к определению зависимости коэффициентов сопротивлений А или ф, входящих формулы сопротивления гладких труб
613
в формулы (29) или (32) § 79, от рейнольдсова числа. Нет никакой необходимости повторять выводы этих формул для турбулентного движения, так как предыдущий вывод не заключал в себе ничего специфического для ламинарного движения и относился, очевидно, к обеим формам движения.
Согласно (32) § 79, используя величину Vx = j/"— , будем иметь:
vi = X 8 U2 , Op'
V\ = Ф 2 U2 max'
ИОр 2 Y2 итах
Щ Yf > Щ.
или:
Yg Y<i>'
(32)
(32')
Для получения формул сопротивления можно использовать любой из следующих двух путей: или применяя к оси трубы формулу скоростей (31), в которой коэффициенты определены при помощи значения скорости на границе ламинарного подслоя, или, наоборот, применяя к границе ламинарного подслоя формулу (27') с постоянными, определенными через скоросіь на оси трубы.
И тем и другим приемом получим одну и ту же формулу
Un
1 In (?*?.) + а -11 п Й 5,75 log (-^) + 5,5, (33)
щ
которую, пользуясь (32'), можно преобразовать еще к виду: = 5,75log(^.-^-) + 5,5==
= 5,75 log(Rm-|/"|) + 5,5. Будем иметь окончательный вид формулы сопротивления:
-1= Z= A' log (Rm Yty) + В'. (34)
Линейность связи между и log (Rm ]/й) хорошо подтвер-
Vty
ждается опытными точками, как об этом можно заключить из рассмотрения графика на рис. 193. Прямая 1 проведена при Л'= 3,77; в'=4,75, прямая 2—-при А' = 3,90; В' = 4,16. Переписывая (33) в тождественной форме
"шах ¦ "«« г тс і--/2/" • Mm, S.,
614 ТУРБУЛЕНТНО Г ДВИЖЕНИЕ
и используя (28) и (32), получим:
іде
-L, = ClOg (R ут.) -J- D1
[і л. IX
(35)
R _...... uW2r
Многочисленные опыты хорошо подтверждают следующую формулу с округленными коэффициентами:
^7 = 2 log (RVT) + 0,8,
(35')
представляющую связь между коэффициентом сопротивления трубы X и рейнольдсовым числом R в неявной форме. При желании можно
Vi
ZZ
го 18 W ft 1Z ю
г ?5^
V?
і/Si с L
— о А
Y
/
