Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 94. Турбулентное движение жидкости в плоской и круглой трубе. Логарифмические формулы скоростей
В основу всего последующего положим рассмотрение оередненного турбулентного движения в плоской трубе (рис. 188). Принимая движение установившимся, будем считать единственную составляющую осредненной скорости и (черточку сверху в дальнейшем опускаем, так как неосредненные скорости больше встречаться не будут) функцией только поперечной координаты у.
1 Рекомендуем для ознакомления с этим вопросом помещенный на стр. 387—396 нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя" параграф „Методы экспериментального исследования турбулентных течений", составленный Е. М. Минским. См. также заключительный параграф настоящей книги. § 94]
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ и КРУГЛОЙ ГРУБЕ
603
Разобьем1 осредненный поток в области от стенки до оси трубы на параллельные оси слои ширины I1 и рассмотрим каждый такой слой отдельно с его скоростями а (у)-tt(y<) по отношє- у
нию к „дну" слоя у=уи верхняя половина потока симметрична нижней и может отдельно не рассматриваться. Если пренебречь влиянием вязких членов, роль которых, как это указывалось в предыдущем параграфе, при удалении от стенки резко убывает, то можно попытаться подобрать величины Ii так, чтобы кривые относительных скоростей в различных слоях были бы подобны ' между собой. Для этого составим очевидное разложение
ііі wwsw/ш х
Рис. 188.
и{у)-и (JV+1)
и (JY) ІУі) {У ~Уі) + 2"""{уд (у ~Уі)* + * *
•11 ІУІ)
и' (Уі) к
1
и"(удПЛ-...
у—у,-
. . 1 liu (-Vj) У У і і l\u W (У~Уі\
2 и' (Уі) ' Ii + 6 и' (jv) Ч It )
1 +
1 IiU (У{) , 1 пи (у.)
(16)
2 и' (jv) 1 6 «' (уі)
и потребуем, чтобы в сходственных точках слоев, т. е. при одинаковых для всех слоев значениях отношения У t У*, величины
и (у) — U(Vi) ~ ^
—. ,— , . также имели бы одно и то же значение. Отсюда выте-и(Уі+і) — и(Уі)
кает требование, чтобы каждая из величин:
1 " Г S »2 / \
lIu C-Vi) lIu Cv,)
w (л)
И '(Уд
была одна и та же для всех слоев Ii. Это требование можно переписать в виде (опускаем индекс „/" и обозначаем символом — пропорциональность):
I-
(160
1 JI. Г. Лойцянский, Турбулентное движение жидкости и внутренняя задача. Изв. Научно-исслед. ин-та гидротехники, т. IX, 1933 и того же автора
„О некоторых приложениях метода подобия в теории турбулентности", Прикл. матем. и мехаи., т. II, вып. 2, 1935. 604
ТУРБУЛЕНТНО Г ДВИЖЕНИЕ
[і Л. IX
Не составит труда убедиться, что всему этому бесконечному ряду условий удовлетворяют как степенная, так и логарифмическая функции вида:
• и = А{у-~у0Г + В, u = C\n{y—y0) + D, (17)
и при этом длина интервала I оказывается линейной функцией
I = * (у Уо)- (17')
Здесь А, В, С, D, у0 их — некоторые константы. Динамическим следствием такого подобия будег служить, как было указано в конце § 78, одинаковость для всех слоев коэффициента сопротивления, определяемого как отношение напряжения трения (или перепада давления) к характерному скоростному напору:
_ъ___ч__
Pl«(W-« W ^rf [1+ + ...]¦
По предыдущему отсюда следует
: const •
Подставляя в выражение напряжения трения (18) полученные степенные и логарифмические выражения (17), будем иметь:
T = const рх2 (у —у0)2 /геМа (у—_у0)2'»-2 = const • (у —у0У*т,
T = const • рк2 (у —ytf ¦ {у1уо)2 = const.
Сравним эти выражения с легко непосредственно выводимым распределением напряжения трения if плоской трубе. Для этого применим теорему количеств движения к объему жидкости, заключенному между двумя линиями тока, находящимися на расстояниях у и 2А—у от нижней стенки трубы, и двумя сечениями трубы, расстояние между которыми L; будем иметь:
Др ¦ 2(А—y) = 2i'L.
Деля это равенство почленно на частный его вид при у = 0, т. е. для полного сечения трубы, когда T = Tmj (трение на стенке),
hp • Ih = 2iwL,
получим:
^i1-і)' (20)
Сравнивая (20) с (19), убеждаемся, что логарифмическим распределением скоростей (17) можно пользоваться приближенно в области значений у, значительно меньших h, но в то же время в некотором удалении от стенки, где влияние вязких членов пренебрежимо.
(19) § 94] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ и КРУГЛОЙ ГРУБе
605
Примером движения, в котором условия подобия выполняются точно и действительно имеет место логарифмический профиль скоростей, может служить предельное движение жидкости вдоль одной из стенок трубы, когда вторая стенка удалена на бесконечность (h оо при фиксированном у). Легко убедиться, что в этом случае во всем потоке будет выполняться условие т == const = и логарифмический профиль скоростей станет единственно возможным.
Что же касается степенного выражения (17), то оно, как будто,
может дать совпадение (19) с (20) при_у0 = Л и т = но приводит при этом к профилю скоростей с бесконечным наклоном на оси грубы. При малом т величина х будет слабой функцией у, что приближает степенной закон к закону х = const.
Итак, точное выполнение системы равенств (16') невозможно.
