Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если пренебречь влиянием производных от осредненной скорости порядка выше второго, то условия точного подобия (16') заменятся одним приближенным условием подобия относительных осреднен-ных скоростей в слоях
du
I —— (21)
dy*
где X — некоторая постоянная, а знак минус выбран из условия, чтобы при выпуклости профиля скоростей в сторону положительных у (и' > 0, и" < 0) величина / была бы положительной. При этом формула напряжения трения (18), если константу включить в определение величины I, може г быть переписана в виде:
rdu\ 2
(22)
Предлагаемая интерпретация длины /, как величины, выражающей приближенный закон дробления потока на слои с подобными распределениями относительных осредненных скоростей, оказывается совершенно достаточной для построения решения задачи о турбулентном движении жидкости в трубе и пограничном слое.
Формула (22) была предложена Прандтлем, 1 исходившим из представления о сходстве между явлением переноса количества движения при турбулентном перемешивании и при столкновении молекул в ламинарном движении. Величина I трактуется Прандтлем как турбулентный аналог „пути свободного пробега молекулы" и называется путем перемешивания.
1 L. Prandtl, Untersuchungen zur ausgeb'Ideten Turbulenz. Zeitschrift fur angewandte Mathem. und Mechanik, 5 (1925), и обзор того же автора „Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности", помещенный в начале сборника статей „Проблемы турбулентности", Гостех-издат, 1936. 606 турбулентно Г движение [і л. ix
На наш взгляд, нет необходимости придавать величине /, входящей в формулу (22), именно такое физическое истолкование. Формула, аналогичная формуле (21), была на основании неоправданно сложных теоретических построений выведена Карманом. 1
В связи с равенствами (20) и (21) формула (22) приводит к следующему дифференциальному уравнению для определения и (у):
А
Р и»% M1 Л/'
Уравнение это может быть переписано в форме (знак минус в правой части выбран в связи с тем, что и" < 0):
Ы'2
I^T
где обозначение
(23)
^ = Vf- (23')
введено для величины, имеющей размерность скорости, но не являющейся вместе с тем скоростью какой-то конкретной точки; в силу своего чисто динамического определения через величины Ivl и р, величина <о.% могла бы быть названа динамической скоростью. Уравнение (23) легко интегрируется и дает первый интеграл:
-P = 2^ /HJ + C. (24)
Для определения постоянной интегрирования С потребуем, чтобы при малых у, когда подобие становится выполнимым точно, величина I, определенная по формулам приближенного подобия (21), (23) и (24), совпала бы с формулой (17') точного подобия. Подставляя значения и' и и" из (23) и (24) в (21), будем иметь:
и, согласно поставленному условию, при любых y<^h должно выполняться равенство:
2хА (11 —т)-(1 - тт)= * »- Уд-
1 Т. Карман, Механическое подобие и турбулентность. Сборник статей
„Проблемы турбулентности", Гостехиздат, 1936, стр. 271—286. § 94] движение жидкосТи в плоской и круглой Грубе 607
Отсюда следует:
C =--—, ^0 = O
и по (24):
= 2й--7—T- (25)
1-У 1-і
Интегрирование этого уравнения ростей
^тя* И
-I Xr^il <26>
приводит к распределению ско-
Ha рис. 189 приводится сравнение теоретической кривой (26) при к = 0,40 с экспериментальными точками, полученными Никурадзе в круглой цилиндрической трубе в широком диапазоне значений чисел Рейнольдса (от R= 4-IO8 до R = = 3240 • IO3), построенных по средней скорости в трубе и ее диаметру d=2h.1
Как видно из графика, теория, относящаяся к плоской трубе, оказывается пригодной и для круглой трубы; некоторое отклонение экспериментальных точек вблизи стенки при сравнительно малых рейнольдсо- ft? 0,3 op о,7'0,s 0,9 ifi
вых числах объясняется отмеченным
уже ранее влиянием молекулярной Рис. 189.
вязкости, не учитываемым теорией.
Заметим, что более простое, чем (26), и очень близкое к нему выражение распределения скоростей можно получить, если, используя основное равенство (22), положить в нем приближенно
Тогда будем иметь:
1 И. Ннкурадзе, „Закономерности турбулентного движении жидкостей в гладких трубах"—указанный на предыдущей странице сборник статей „Проблемы турбулентности", стр. 75- 150, 608
ТУРБУЛЕНТНО Г движение
[і л. iX
или после интегрирования:
(27)
Полагая здесь:
и исключая С, получим:
y = h,
U = Um
1Mnax_
Ilnf
•л H
(27')
Полученная формула практически совпадает с (26) и так же хорошо согласуется с опытными материалами при значении * = 0,40.
Umax . иср
JZ 28 Zk 20 № 12.
тім ъА IfM
.....
ҐІ Ucp
ih, PP^
-г5" *
L
2,0 2,2 2,U 2,6 2,8 3,0 3,2 3,U 3,6 3,8 QiO W V W
* V Рис. 190.
Применим формулы (26) и (27') для круглых цилиндрических груб, считая h равным радиусу трубы а.
