Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Предположение (4) эквивалентно утверждению о равенстве нулю средних значений пульсаций величины ср, равных
Cp' =rJI — tp.
Действительно, в силу линейности операции осреднения (3) и равенства (4), имеем:
tpf = w — <в == 0. (5)
В дальнейшем придется иметь дело исключительно с квазистационарными турбулентными движениями. В этом случае осредненное § 93] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
597
значение ю будет функцией только координат, так что, если ^ означает еще одну пульсирующую функцию времени и координат, то, согласно (3), получим [черта сверху означает операцию осреднения (3), проведенную над всем выражением, стоящим под этой чертой]:
(6)
Если турбулентное движение не квазистационарно, то равенство (6) приходится постулировать как дополнительное свойство осреднения (3).
По определению осреднения (3) сразу следует, что среднее значение производной от некоторой функции по координате равно производной от среднего значения функции по той же координате
ду ду
дх
ш и т- д-'
(7)
так как операции дифференцирования по координате и интегрирования по времени независимы. Таким же свойством обладает и производная по времени. Действительно, по известной формуле дифференцирования интеграла с переменными пределами получим:
T
T
d<f dt
=ItT S 9^x'у'г; ^
dx--
LJL
T dt
t—
J ? (•*> У, г; X) dx ¦¦
T
t+
T
[«(*, у, Z-, У, г; l)]=i J ^dx
и, следовательно,
д<? "W
д? dt '
(8)
Пользуясь частью постулированными, частью выведенными из определения закона осреднения (3) свойствами,1 можно получить дифференциальные уравнения осредненного движения несжимаемой жидкости. Возьмем для этой цели основную систему (14') гл. VIII уравнений
1 Закон осреднения (3), использованный для турбулентного движения впервые Рейнольдсом, является простейшим из возможных законов осреднения.
Несколько подробнее вопрос об осреднении (сглаживании) пульсирующих функций изложен во втором юме курса Кибеля, Кочина и Розе (стр. 575, изд. 1948 г.). 598
ТУРБУЛЕНТНО Г ДВИЖЕНИЕ
[і л. IX
движения вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил:
ди і ди . ди , ди
dt
dv
дх dv
ду
dv
дг
P дх 1 '
VV , UV . VV , dv ldp. _п
dw , dw , dw , dw 1 dp .
¦757+ uHi +u^T+ w ді = - 7 ?+v^w'
P dz
du
dv , dw
dx + dy +
dz
0,
(9)
и, пользуясь уравнением несжимаемости, перепишем первое из уравнений системы (9) в виде:
ди . д(ии) . д (uv) , д (uw) _ 1 др ¦ у2 dt і a* ~r ~г а? о Яг "гvv
ду
dz
P дх
Произведем над обеими частями этого равенства операцию осреднения (3), тогда, согласно (7) и (8), при р — const, v = const, будем иметь:
ди , дии , duv
duw
dt
дх
ду
dz
р dx 1
(9')
Рассмотрим входящие сюда средние значения от произведений проекций скорости. Заменим в них и, v и да разложениями на осред-ненные и пульсационные скорости (2), тогда по определению операции (3) и (6) будем иметь:
ии = (и -j- и') (и -j- и') = uu-j- 2ии' = и u-j~2u и' -{- и'',
UV ~ (и -j- и') (v-\-vr) = UV-\~ UV VU
¦ uv-\- uv' -\-vu'-fflV»
UW = (и-{- и') (w~j~ w') = UW UWr -\-wu' u'w' =
= aw-\- uw' + wu' в'®',
или, используя (5):
ии = и2-f- и/2, uv = uv-\-u'v', UW = U"W -j- и'о'. Уравнение (9') может быть после этого переписано в форме:
ди , du2 , duv , duw T J
dt
дх
ду
dz
J_ dp P dx
-j- vV2a -
du'2 du''
du'w'
dx
dy
dz § 93] основные уравнения осредненного движения 599
Замечая, что осреднение уравнения несжимаемости дает
!+!+§-<>. оч
перепишем предыдущее уравнение в виде:
ди , — ди , — ди . — ди Idp , ,,<>- ди'2 du'v' du'w'
-зТ + и-з—- г; — - - ---J- -4-vV^и--=т---г----—- .
dt 1 дх 1 ду 1 дг р дх ' дх ду дг
Повторяя совершенно аналогичные преобразования с остальными двумя динамическими уравнениями (9), получим искомую систему дифференциальных уравнений осредненного движения (уравнения Рейнольдса):
(ди , - ди і —ди і — ди >
bt+udt+vi$+wTz)
ду
(dv . — dv і - dv , — dv\
dp , iiT72- , д , —,, д , ,2
fy + Pu'*') + §(- pO + Ш PvW)-
^fdw . - dw , - dw , — dw\
0M . _|_дї?_0
dx ' dy dz
Сравнивая эти уравнения с общими уравнениями „в напряжениях" (30) гл. И:
l \dt 1 дх 1 ду dz) дх 1 ду ' дг '
(И)
можем представить себе правые части системы (11), как результат подстановки в уравнения „в напряжениях" на место величин Pcca., рт ... суммы вязких напряжений, определенных обобщенным законом Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений, возникших за счет наличия в потоке пульсаций:
Pл* = — P + 2V Posy = I1^J-' Jx)+ Pи т- Л., 600
турбулентно Г движение
[і л. IX
причем дополнительные турбулентные напряжения образуют, так же как и вязкие напряжения, свой симметричный тензор второго ранга:
И гак, приходим к выводу: уравнения оередненного турбулентного движения могут быть написаны в той же форме, что и уравнения действительного движения, если только, помимо вязких (ньютоновских) напряжений, учесть еще дополнительные турбулентные напряжения.
