Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 97. Турбулентный пограничный слой на продольно обтекаемой пластине. Сопротивление пластины
В начале настоящей главы было показано, что в развивающемся вдоль поверхности крыла пограничном слое наблюдается как ламинарная, так и турбулентная части. Расположенная между ними переходная область, внутри которой законы движения жидкости еще мало изучены, при больших рейнольдсовых числах невелика и в первом приближении может быть заменена „точкой перехода". Это позволяет порознь рассчитывать сначала ламинарный участок пограничного слоя, для чего применяются методы, изложенные в конце гл. VIII, затем турбулентный слой — по законам „установившейся" турбулентности и, наконец, сращивать оба решения вдоль сечения, проведенного через точку перехода.
Обобщим прежде всего на случай турбулентного пограничного слоя основное интегральное соотношение (91) § 87 предыдущей главы. Для этого заметим, что уравнения турбулентного пограничного слоя могут быть составлены из уравнений Рейнольдса (11) совершенно аналогично тому, как уравнения ламинарного пограничного слоя были составлены из уравнений движения вязкой жидкости. Будем иметь аналогично (89) § 87:
цди_ ¦ ^ ди__у dU . 1 dz
U дх т-® ду ~~ dx р W (44)
ди і dv _q
дх ' ду '
где і обозначает касательное напряжение трения между струями оередненного течения, причем т заключает в себе как турбулентное, так и обычное, вязкостное трение.
1 Более подробное изложение теории турбулентного движения жидкости при наличии шероховатости стенок можно найти в следующих статьях; Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Об универсальных формулах в теории сопротивления шероховатых труб. Труды ЦАГИ, вып. 250, 1936; К. К. Федяевскнй Примерный расчет интенсивности трения и „допускаемых" высот шероховатости для крыла. Расчет треиия поверхностей с местной и общей шероховатостью. Там же, вып. 250, 1936; К. К. Федяевский и Н. Н. Фомина, Исследование влияния шероховатости на сопротивление и состояние пограничного слоя. Там же, вып. 441, 1939. 622
турбулентної: движение
Ігл. їх
Повторяя рассуждение начала § 87 предыдущей главы и вводя те же самые обозначения для условных толщин слоя 8* и Sftx, получим вновь уравнение (91) с той лишь разницей, что оа и Ssk должны составляться при помощи осредненных скоростей. Величина напряжения трения на стенке xw будет определяться обычной форму-
лой вязкого трения Xw = [і , так как на стенке турбулентные
пульсации, нормальные к стенке, вместе с турбулентным трением обращаются в нуль. Таким образом, действительно, уравнение импульсов сохраняет в случае турбулентного пограничного слоя тот же вид, что и в случае ламинарного слоя.
Рассмотрим задачу о продольном обтекании пластины. В этом случае U=Vо,, ?/ = 0, и уравнение (91) § 87 приведется к виду:
Следуя принятому в теории ламинарного пограничною слоя приближенному методу и предполагая, что во всех сечениях турбулентного пограничного слоя наблюдается установившаяся турбулентность, выберем в качестве семейства профилей продольных скоростей в сечениях турбулентного пограничного слоя те же логарифмические профили скоростей:
что и в сечении трубы, но в отличие от трубы будем считаться с переменностью величины напряжения трения а следовательно, и щ вдоль поверхности пластины.
Составим входящую в уравнение (45) величину 8*л. Для этого применим сначала соотношение (46) к внешней границе у = 8 турбулентного пограничного слоя; тогда будем иметь:
(46)
СО
(47)
Простые выкладки приведут к выражениям:
± = 2,5 .„ (і - ty + 5,5 = 2,5 in (? - і . -?-) + 5,5,
СО § 97] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ IlA ПЛАСТИНЕ 623
После этого найдем:
0 я* *
причем постоянные A1 и A2 легко вычисляются:
і
A1 = 2,5 J In (¦?)<* (^f-) = 2,5,
о
і
,? =-6,25 J ln2(i)d(f-)=- 12,5. о
Переходя в предыдущей формуле к рейнольдсовым числам
V S** V о
R^e-SL- и Rt = -Z-,
получим:
^=2,5^-12,5(-^)2. (48)
1VJ »00 \ " со'
Определяя отсюда R8 и подставляя в равенство (47), найдем связь между и R**:
» ел
= 2,51п(-+
2,5—12,5
V,,
Заменяя в этом выражении натуральный логарифм на десятичный
и -^l на і / ——-, получим:
Vc0 V P^i
V-JfVl
V-;
5,75 IogR'* -5,75 log(l —5 V^JpVl) + 3,22. (49)
Равенство (49) представляет в неявном виде связь между местным коэффициентом сопротивления пластины 624
ТУРБУЛЕНТНО Г ДВИЖЕНИЕ
[і Л. IX
и рейнольдсовым числом R**. Соотношение (49) может быть значительно упрощено, если, определив VTwIpVi из (49) путем последовательных приближений или графически, заметить, что последние два слагаемые предсіавляюг слабо изменяющуюся функцию R-=*; их сумма в широком диапазоне чисел R'1" от IO8 до IO6 можег быть заменена своим средним значением 3,8. Эго приведет к следующему простому выражению коэффициента местного сопротивления пластины череі рейнольдсово число R''":
1
(5,75 log R* +3,8)-
(50)
Обработав большое число экспериментов различных авторов над длинными пластинами при больших значениях рейнольдсовых чисел, Фолкнер1 предложил простой эмпирический степенной закон скоростей и сопротивлений, который при пересчете на принятые у нас
