Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Переписывая уравнение Бернулли
__k + l ^
2 ' k — l 2(fc—1)
в виде
2 1 k—l 2(k — 1) 2 2(k — 1) V k—l
заключаем, что, как ранее было уже указано, для расчета косого скачка можно с успехом использовать формулы расчета прямого скачка, если только за скорость принять нормальную составляющую действительной скорости Vn, а за критическую скорость величину
так же как и истинная критическая скорость сохраняющуюся, согласно (93) и (94), при переходе газа сквозь косой скачок уплотнения. При этом вместо известного соотношения для прямого скачка [формула (54) гл. IV]
ViV2 = а*2
получим обобщение этого соотношения на случай косого скачка:
VuiV2n = Vl (95)
Замечая, что, согласно рис. 124:
vrIn = visin i3, V2n = V2 sin ф — в), IZi = V1 cos р = V2 cos ([3 — Є),
получим по (95):
(96)
IZ1V2 sin р sin (p — 6) = я*3 — vl cosa
ш куда
vt ., cos(p-e)
j Sin P Bin (8-6)-(- Iq-p COS P cos (P — fl)J -L =COSp. [sinPIg(P-B) + I=Icosp]. (97) начальное число Mi
Отношение давлений.
3,0 3,5
Начальное число M1
Номограмма для расчета косого скачка-
Зик 1841. Л Г. Лойцянский. § 59] СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 381
Перейдем еще обычным образом от Xf к M?, тогда будем иметь: 1__ k-\ 1 ^ 1__fc — l ^
Mf 2 * 2
= A+lsinpCosptg(fi — 6)sina p. (98)
Это соотношение является основным для теории расчета косого скачка. Задаваясь числом M1 и углом б поворота потока, по (98) найдем угол р скачка с начальным направлением потока. Заменяя в формуле прямого скачка (72) гл. IV число M1 на M1Sinfi, соответствующее нормальной составляющей скорости, получим отношение давлений в потоке за и перед косым скачком:
Pa 2& ,,2 -2а к — 1
Перейдем к давлениям рю и /P20 адиабатически и изэнтропически заторможенного газа до и за скачком. В полном согласии с ранее выведенной для прямого скачка формулой (75) и заменяя в ней Mi на M?sin3p, получим:
• 1 .9 9 Л к—1
М? sin
Ptо (^k . 2? Л —1\*-1/ ^ 2 "Iі"" Г V
ЙН*+гм'я" f-їтг) IiTTT^rJ -<,И»
Напомним, что натуральный логарифм этого отношения пропорционален возрастанию энтропии газа при прохождении его сквозь скачок уплотнения.
Аналогичным путем выведем выражение числа M2 за скачком через число M1 до скачка и угол р:
М|=- ¦ . -j--. 1 . -. (101)
AMj sin2 р - 1 + ^Zl Mf sivsp
Пользование формулами (98), (99) и (101) требует сложных вычислений, для избежания которых предложены различные графические приемы. Рекомендуем номограмму,1 позволяющую по заданному числу M1 до скачка и углу поворота струи 6 определять угол (3
скачка с начальным направлением потока и величины M2 и — в потоке за скачком. Поясним пользование номограммой на схеме (рис. 125), где жирной линией показана одна из кривых зависимости |3 от Mt
1 См. вклейку, а также ранее цитированную книгу Г. В. Липмана и
А. Е. Пакета. 382 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
при 6 = 60. Выбираем на верхней горизонтальной шкале точку M1 = M10, соответствующую начальному состоянию потока до скачка, и проводим через эту точку вертикальную прямую до пересечения с кривой, представляющей зависимость р от M1. Получаем в пересечении две точки, которым соответствуют два наклона линии скачка: P = P0 и P=Po, отсчитываемые, как показывают стрелки, по левой верти-
Рис. 125.
кальной шкале номограммы, а также две пары значений: Mg0 и М»о, и » которые можно найти на правой вертикальной шкале
чисел M2 и горизонтальной шкале ¦ Из указанных двух физически возможных наклонов косого скачка в действительности, как будет пояснено далее, может осуществляться лишь тот, при котором происходит более слабое уменьшение скорости и числа М, а следовательно, более слабое увеличение давления; такому скачку соответствует меньший из двух указанных на номограмме углов р0 и р0 • Если проследить за направлением возрастания величин (3, M2 и P2IPi по шкалам номограммы (на схеме рис. 125 эти направления указаны стрелками), то пригодным решением окажется система значений Po»
Мго и > соответствующая нижней, „рабочей", точке номограммы. § 59] СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА
383
Рассматривая номограмму более подробно, заметим, что не при всяком начальном значении числа M1 можно найти величину угла (3 скачка с начальным направлением потока. Каждому значению угла отклонения потока S0 соответствует некоторое значение Mt, при котором вертикаль M1 = M1 пересечет кривую р (M1) только в одной
точке P = P (рис. 125). При заданном S0 и M1 < Mt получить косой скачок вообще нельзя. Этот факт можно проинтерпретировать и несколько иначе: при любом заданном числе M1 набегающего потока можно указать такое максимальное значение Sraas угла отклонения потока, что при S0 > Sraax построить косой скачок нельзя. В этом случае явление усложняется тем, что скачок перемещается вверх по потоку, отходит от вершины угла, образуя так называемую головную волну, о которой уже была речь в гл. IV. Схема такой волны на примере обтекания клина показана на рис. 126. При S > Smax обтекание остроносого профиля становится аналогичным обтеканию тупоносого.
