Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Определим газодинамические элементы потока после поворота его на угол B1.
начальным направлением потока.
O1=O(X1), (87)
є + а—6=
(88) 374
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Таблиц.
6° a° M X PlPo 6°
0 0,00 90,00 1,000 1,000 0,527 28
1 23,72 67,28 1,084 1,068 0,477 29
2 30,04 61,96 1,133 1,107 0,449 30
3 34,82 58,18 1,178 1,141 0,424 31
4 38,88 55,12 1,220 1,173 0,401 32
5 42,34 52,66 1,258 1,201 0,381 33
6 45,42 50,58 1,295 1,227 0,363 34
7 48,30 48,70 1,332 1,253 0,345 35
8 50,93 47,07 1,366 1,276 0,329 36
9 53,46 45,54 1,401 1,299 0,313 37
10 55,84 44,16 1,435 1,322 0,298 38
Il 58,16 42,84 1,470 1,344 0,284 39
12 60,38 41,62 1,505 1,366 0,270 40
13 62,49 40,51 1,539 1,387 0,257 41
14 64,52 39,48 1,572 1,407 0,245 42
15 66,53 38,47 1,608 1,428 0,233 43
16 68,47 37,53 1,641 1,448 0,221 44
17 70,33 36,67 1,675 1,467 0,210 45
18 72,18 35,82 1,710 1,486 0,199 46
19 73,98 35,02 1,744 1,504 0,189 47
20 75,74 34,26 1,779 1,523 0,179 48
21 77,49 33,51 1,815 1,541 0,170 49
22 79,20 32,80 1,850 1,559 0,161 50
23 80,90 32,10 1,884 1,576 0,153 51
24 82,55 31,45 1,918 1,592 0,145 52
25 84,20 30,80 1,954 1,609 0,137 53
26 85,81 30,19 1,989 1,625 0,130 54
27 87,42 29,58 2,025 1,641 0,123 129,32
89,02 90,58 92,12
93.66 95,18 96,68 98,20
99.67 101,13 102,58
104.02 105,46 106,88 108,30 109,71 111,11 112,51 113,89 115,27 116,63 118,00 119,36 120,71 122,07 123,41 124,74
126.03 219,32
28,98 28,42
27.88 27,34 26,82
26.32 25,80
25.33 24,87 24,42 23,98 23,54 23,12 22,70 22,29
21.89 21,49 21,11 20,73 20,37 20,00 19,64 19,29 18,93 18,59 18,26 17,97
0,000
M
2,062 2,098 2,135 2,174 2,214 2,251 2,296 2,339 2,378 2,422 2,466 2,508 2,550 2,595 2,640 2,689 2,734 2,778 2,826 2,873 2,920 2,968 3,021 3,074 3,131 3,188 3,250 оо
По определению угла возмущения а имеем:
_ і_&_
1 ____,„ I -./"MrT V kjTl
a = arc sin = arc sin ^ у —^--- \
¦ Lr^
sin\у Y--
Используя это равенство, а также (87) и (86"), получим по (8).
= J + = f+ /"Шагс sin(/"^HI/X^=T)-
—arc sin [у —2--j-) —
TTT ^ЧетН
2-----X J-
¦ arc sin
(8t § 58J СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛОГО УГЛА 375
Применяя известную теорему сложения арксинусов
arc sin и 4- arc sin v = arc sin (и ]/' 1 — Vі -j- v Yl — u1), легко убедиться, что сумма двух последних членов в равенстве (880 равна ^, так что будем иметь:
____(89)
^+тст^Кттг')-
Рассчитанные по этой формуле при k = 1,4 значения углов е, отвечающие данным значениям б, к или М, помещены в табл. 9.
Последнее из равенств (89) позволяет по заданному углу є определить величину скорости" движения газа; скорость эта, так же как и все остальные газодинамические элементы, не зависит от расстояния г между взятой на характеристике точкой N и вершиной угла О.
Каждый из углов е, а, 0 может быть связан попарно с другим. Замечая, что первая из формул (89) на основании известного соотношения
arc sin х = arc tg . х ......•
Vl-X2 376 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
переходиі в формулу:
Г k-t-1
и сравнивая ее с выражением для угла а:
• arc ctg ]/М®— 1 = arc ctg
k+l
видим, <по между а и г сущесівуег соотношение
Cte- = / Ш tg (/4?-.), (90)
позволяющее определить угол а между скоростью и линией возмущения по заданному углу є линии возмущения с перпендикуляром к направлению начального потока. По формуле (88) найдем связь между 6 и є:
О = . + arc ctg (]/Щ tg -/Щ е) -1. (91)
Найдем, наконец, форму линий тока в области C0OC1. Для этого по (90) и по известной формуле для котангенса угла между касательной к кривой, заданной в полярных координатах, и радиусом-векто-ром составим дифференциальное уравнение
1 *L = ctg а = /l^f tg ( в),
которое легко интегрируется и дает:
'0 [со. (/?{--)] (92)
где г0 = г (0). Как видно из последнего равенства, все линии тока подобны между собою относительно центра О.
Таким образом, задача полностью разрешена. Обратим внимание на следующий интересный физический факт. Согласно (87) и (86"), чем больше угол 6, полного поворота струи, тем больше безразмерная скорость X1 в конце поворота ее. По формуле (89) максимальное значение X будет равно
¦ + ] 7г+1
\мх=/йт (Для воздуха Vax = 2,437).
Этому максимальному значению X соответствует движение с максимальной скоростью в абсолютном вакууме:
/
M-I М = оо, р^. О, T = 0, р = 0. § 59] СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 377
Максимальное значение угла поворота струи Omax определится, согласно (86"), при этом так:
°mw = G (>w) = Y T=T аГС Sin 1 аГС Si" 1 = 1) Y;
для воздуха (? = 1,4) получим:
о о
Omax 129,32 .
Характеристика (линия возмущения), соответствующая максимально возможному углу отклонения струи, будет образовывать, согласно (89), с осью OC0 угол: _
— -шГk+ 1 я ¦
3Jnftx —у /. _ J 2 5
для воздуха (k= 1,4):
W = 219,32°.
Заме тим, наконец, ч і о при M = оо угол возмущения « равен нулю, т. е. линия возмущения совпадет с линией тока. Таково предельно возможное расширение потока при огибании угла.
