Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1 В точках поверхности о потенциал простого слоя выражается, со-
гласно (21), через несобственный интеграл, который берется в смысле своего
главного значения. ЙОЛЕ СКОРОСТЕЙ ВОКРУГ СИСТЕМЫ ВИХРЕЙ
двойного слоя претерпевает разрыв непрерывности при переходе текущей точки M через поверхность о.
Комбинируя потенциалы простого и двойного слоев, можно разрешать различные задачи обтекания тел.
§ 62. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей. Формула Био — Савара. Потенциал скоростей замкнутой вихревой иити. Аналогия с потенциалом двойного слоя
Наряду с основными „особенностями" скоростного поля: источниками, стоками и диполями, рассмотрим еще вихревые трубки и линии.
Предположим, что в 'некотором объеме "С (конечном или бесконечном, как, например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки) задано непрерывное распределение завихренности У и требуется разыскать распределение скоростей во всей области течения. Простейшей задачей такого рода является определение по заданному полю вихрей поля скоростей в безграничной области. В этом случае вопрос сводится к составлению такого решения относительно V уравнения
rotV = Q, (23)
которое стремилось бы к нулю при удалении на бесконечность от области, занятой вихрями.
Введем в рассмотрение так называемый векторный потенциал А [вспомнить формулу (33) § 37 гл. V), связанный с вектором скорости V соотношением
V = rotA, (24)
причем подчиним векторный потенциал дополнительному условию
div A=O.
Тогда уравнение (23), если вспомнить основную формулу векторного анализа
rot rot A = grad div А — V2A,
превратится в
V2A = — Q. (25)
Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Пуассона (20), можем составить решение уравнения (25) в форме векторного обобщения ньютонова потенциала (19):
¦А-І/ЇІ. (26)
т
где г—радиус-вектор текущей точки поля M по отношению к элементу объема тв
Согласно (24), для вектора скорости V получим искомое значение
1 , I'Qdx 400
Пространственное безвихревое движение
(гл. VH
Остановимся ближе на случае отдельной элементарной вихревой і рубки, окружающей вихревую нить L (рис. 137), с циркуляцией Г.
Обозначим через dr элемент нити, ориентированный в ту же сторону, что И Ц; тогда, производя под знаком интеграла (27), по известной теореме о связи между интенсивностью вихревой трубки и циркуляцией скорости по охватывающему трубку контуру, замену
Й dz = a drs ¦ ds = Q da • dr = Г dr,
U
получим вместо (27):
V:
4я
rot
С?Г:
Г ' 4п
rot
Используя формулу векторного анализа rot (j dr) = у rot (dr) -f- grad fy) X dr
Рис. 137
и замечая, что dr является потенциальным вектором, так ч го rot (dr) == 0, сможем предыдущее выражение V переписать в виде:
V:
? ' 4г
fgrad(I)X
dr.
(28)
Это решение задачи о построении поля скоростей вокруг заданной вихревой нити L с циркуляцией Г можно еще упростить двумя различными путями.
Первый путь заключается в непосредственном вычислении градиента под знаком интеграла
Ptad (—
grad г
1
и приводит к гидродинамическому аналогу известной в теории электромагнетизма формулы Био — Савара:
JL Г йт"-
4г. J г
drXr
(29)
Если рассмотреть элементарную скорость dV, образованную („индуцированную", как принято говорить) в точке M элементом вихревой нити dr, то можно вместо (29) написать:
dV
Г dr X г
4 тс /-з S 62]
поле скоростей вокруг системы вихрей
401
или, переходя к величине элементарной скорости:
Г I dr X ГI _ г ds • Sln 6
|dV|
4 те
г*
4я
(29')
-Савара определяют магнитное поле
По аналогичной формуле Био -от элемента электрического тока.
Чтобы проиллюстрировать применение формулы (29), определим скорость, индуцированную в различных точках пространства прямолинейным отрезком AB вихревой нити с циркуляцией I1 (рис. 138).
Замечая, что все элементы прямолинейного вихря будут в данной точке M давать одинаково направленные элементарные скорости d\ (по перпендикуляру к плоскости, проведенной через отрезок AB и точку AJ, в сторону вращения, создаваемого вихрем), найдем сначала по (29'):
IrfVI =
Г Sinl
4к
ds,
а затем, пользуясь очевидными равенствами (h—кратчайшее расстояние точки M от отрезка AB):
d6
A = rsinO, ds= — d(Actg6): получим выражение для |dV|:
h
Sin^ (
rsin6.sin28 hdb
Г
4я
W
Sin2 0 4к/г
sin 0 е?0.
Рис. 138.-
Интегрирование по Ь от 0 = « до 6 = it — р дает искомое выражение скорости V, индуцированной вихревым отрезком AB:
V==lSr/ «п 6 rfO =-4^ (cosa +cosР).
(30)
Формула (30) играет основную роль в расчетах поля скоростей вокруг вихревых линий и будет в дальнейшем использована в теории крыла конечного размаха.
Полагая в формуле (30)' а = (3 == 0, получим вновь известную из теории плоского движения формулу скорости, индуцированной бесконечно длинной прямолинейной вихревой нитью
V-
г
2r.h
Второй путь преобразования формулы (28) полезен в том случае, когда приходитсяj-шєїь дело с замкнутой вихревой линией конечной длины, ограничивающей (рис. 139) некоторую разомкнутую поверхность а. В этом случае
