Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. VI
направления (будем их в дальнейшем называть „характеристическими"), вдоль каждого из которых функции и и V должны, согласно (77) и (78), удовлетворять соотношению
X2(a2- HS)g-(X1 + X.2uv)g = 0. (82)
Заметив, что произведение корней квадратного уравнения (80) равно
w2—at
OT1OTo =-5-7Г,
1 J а-—а2
перепишем уравнение (82) в виде:
dv ^ h (а-— и2) ^ Mfl2-P5) гін Xi -j- X2HW WJjm2 (/.j -)- Л2иг/) *
или, согласно (79), так:
dv _ т _ urn rtr а '\r V1 — а'- . .
du~ W1W2- — г;2—• Ibi4)
Уравнение (83) может быть проинтегрировано в конечном виде (что и будет сделано в дальнейшем), так как местная скорость звука представляет известную функцию скорости движения V = У и2 -j- vK Таким образом, совершенно аналогично случаю нелинеаризированного распространения конечных возмущений в задаче Риманна, вдоль кривых, представленных дифференциальным уравнением (81), неизвестные функции uuv оказываются связанными известным наперед соотношением (83) или его интегралом.
Семейства (C1) и (C2) интегральных кривых уравнения (81), соответствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристики в плоскости (х, у), а величины Ot1 и от2, определяемые тем же уравнением (81), представляют угловые коэффициенты касательных к характеристикам или характеристические направления в плоскости (х, у).
Будем называть для определенности кривые, соответствующие дифференциальному уравнению (81) с положительным знаком перед
радикалом _
dy _иу + а У F2 —а*-dx M2—а2
характеристиками первого семейства, интегральные кривые уравнения
dy _ иу —a \ r V ~ —^ йх~~ и®— а* '
характеристиками второго семейства.
Точно так же равенство (83) определяет в каждой точке плоскости годографа скоростей (и, v) два семейства H1 и H2 кривых, опреде- § 57J нелинеаризированный сверхзвуковой поток 369
ляемых дифференциальным уравнением (83) с тем или другим знаком перед радикалом в правой части. Каждое из этих семейств также представляет „характеристики", но уже в плоскости годографа (и, v). Знаку плюс перед радикалом соответствуют характеристики первого семейства, знаку минус — второго семейства. Обозначая через п угловой коэффициент „характеристических направлений" в точках плоскости (и, и), будем иметь по (83):
«1,2 =
(dv\ «и = uv~
\du Ji,:з Tn1Tnv V1-Ol '
H1 = /Wj 1
WZtm2
W - Tiut _ 1
"2 —' т\тч_ M1
Характеристические направления в плоскостях (х, у) и (и, v), как это сразу следует из (83'), связаны между собой очевидными соотношениями:
или W1OT2-)-1=0; или W2Ot1 -[-1=0.
Отсюда следует, что при выборе осей л- и у параллельными осям и и V, характеристические направления первого семейства в некоторой точке плоскости (х, у) будут перпендикулярны характеристическим направлениям второго семейства в соответствующей точке плоскости (и, г») и, наоборот, характеристические направления второго семейства в плоскости (л;, у) окажутся перпендикулярными характеристическим направлениям первого семейства плоскости (и, v). Это важное свойство характеристик позволяет, если наперед известно семейство характеристик в одной плоскости, указывать характеристические направления в соответствующей точке другой плоскости. При пользовании графическими методами интегрирования основных уравнений движения, известными уже нам по гл. IV, такое свойство характеристик значительно облегчает построение решения.
Обобщим на случай произвольного нелинеаризированного сверхзвукового потока понятие о линиях возмущения. Будем по аналогии с линеаризированным потоком называть „линиями возмущения" такие линии в физической плоскости (х, у), касательные к которым образуют с направлением скорости угол г+г а, синус которого обратен числу M в данной точке [вспомнить формулу (21) § 27 гл. IV, а также §§ 51 и 52 настоящей главы]:
sin a = zh ггт M
Докажем, что характеристики нелинеаризированных уравнений движения в плоскости (х, у) образуют „линии возмущения" сверхзвукового потока. Для этого составим выражение тангенса угла между вектором скорости и касательной к характеристике в плоскости (х,у);
24 Зак. 1841. л Г. лошмнскяй. 368
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
тогда по известной формуле аналитической геометрии будем иметь:
V UV ± ClrfVi — C2 V
т---
и
tg а =--==
Ф — (Р
1 + т-
1 +
UV:
V V--Ct1 V
tfl — cfi
(Pv ±auYV2 -а-н (1/2—a?)±av VW^
1
у 1/2 •
Vw-г
или
Sin О :
1_
"М"
(84)
Из этой формулы вытекает, что: 1) характеристики уравнений сверхзвукового движения являются „линиями возмущения" в потоке и 2) вектор скорости образует с характеристиками в плоскости (х, у) одинаковые по величине и разные по знаку углы, т. е. вектор скорости направлен по бисектриссе угла между характеристиками обоих семейств
ч
в данной точке (рис. 120), и, наконец 3) проекция Vn скорости на нормаль к характеристике равна местной скорости звука'.
Vn= 1/cos (90° — а) = 1
= Vsin а= V •
M '
--а.
Рис. 120.
Определим теперь закон изменения скорости вдоль ха-I рактеристик C1 и C2 плоскости (х, у) или, что все равно, уравнения характеристик Я, и H2" в плоскости (и, v). Как уже ранее было указано, уравнение (83) может быть проинтегрировано в общем случае. Для упрощения интегрирования уравнения (83) перейдем от проекций скорости и я v к величине скорости V и углу 6, образованному вектором скорости с осью Ох, положив:
