Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
а) условие непроницаемости поверхности тела:
Vn = gradM <s = = О на поверхности а,
б) условие на бесконечности
V = grad <о = V00 при г —> оо,
где г—радиус-вектор точек области течения относительно начала координат, расположенного вблизи обтекаемого тела.
Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности а, уравнение Лапласа (15) при только что указанных граничных условиях имеет единственное решение; функция представляющая это решение, называется гармонической функцией. Не останавливаясь на общей теории решения уравнения Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других относящихся сюда общих вопросах математической физики, перейдем к рассмотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем изложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных тел — наиболее важной для практики пространственной задачи. Что касается вопроса об обтекании тел произвольной формы, то, в отличие от плоского движения, соответствующая задача в пространстве представляет непреодолимые трудности.
Начнем, как и в случае плоского движения, с установления потенциалов наиболее простых движений.
1°. Однородный прямолинейный поток, параллельный некоторой прямой, имеющий повсюду одинаковую заданную скоросгь V с проекциями и, V, w, будет удовлетворять очевидной системе равенств:
J^-= И = Const, -^2- = 7/= const, = W = const, 394
ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[і Л. VII
Следовательно, потенциал скоростей в этом случае равен
® = UX -J- vy WZ = V (Х COS К -\~У COS 3 -J- Z COS Tf), (16)
где а, |3, — углы заданного направления потока с осями координат Ox, Oy и Oz.
2°. Поток источника (стока) мощности Q будет симметричен относительно положения источника и даст поле скоростей, отвечающее очевидному условию сохранения расхода
V. 4Tzr2 = Q,
где г — радиус-вектор некоторой точки потока относительно источника; отсюда получим:
V-
Q
Замечая, чю в сферической системе координат
_ у—V--L-1*
дг~~~ 4 пг2' е г sin 6
де
О, V11 -
1 ду
О,
найдем искомый потенциал скоростей
T =
SL
4 яг'
(17)
причем, в случае источника Q> 0, в случае стока Q<0. В выражении (17) нетрудно узнать простейший случай ньютонова потенциала, встречающийся в теории притяжения, электростатике и др.
3°. Поток диполя получим, используя допустимое в силу линейности уравнения Лапласа (15) наложение частных решений уравнения. Определим сначала потенциал скоростей поля, создаваемого совокупностью источника и стока с равными по абсолютной величине мощностями Q.
Расположим сток (рис. 134) в точке Л прямой линии AL, источник — в смежной точке А', находящейся от точки А на
расстоянии AA' = As. Определим потенциал скоростей е в некоторой точке M
с вектором-радиусом AM = г, образующим угол Ь прямой AL; будем иметь:
Рис. 134.
с направлением
?
-JL-Jr-SL 4?ir' 1 4ъг' ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР.
395
Предположим гепер,., чго, аналогично тому, как это имело место в случае плоского диполя (§ 38), источник сближается со стоком, но гак, что мощность увеличивается до бесконечности и при этом выполняется равенство:
Iim Q ' AA' = т (конечная величина). Q-*- со
Тогда, переписывая потенциал скоростей © в виде
е,—1 Q.AA'.llr'^1/r 4ti AA'
и переходя к пределу, получим следующее выражение потенциала скорое і ей:
tn d ( 1
4jc ds
(г)- <¦«>
или, вычисляя производную и замечая, что, согласно рис. 134, й і IN Idr cos б
ds\rJ г2 ds гг ' получим еще такое его выражение:
т со§ О
4 кг* '
Полученный предельный поток с потенциалом скоростей определенным формулами (18) или (18'), называют потоком диполя, находящегося в точке Л, имеющего ось AL и момент т. Иногда момент диполя рассматривают как вектор га, имеющий величину т и направленный по оси диполя AL; при этом потенциал диполя можно представить в виде:
tP= -SS- («")
4°. Непрерывное распределение источников в пространстве. Предположим, что внутри некоторого объема х (рис. 135) непрерывно распределены источники (стоки) так, что на единицу объема приходится мощность q. Величина q, представляющая функцию координат точек в объеме -с, играет роль объемной плотности распределения источников (q > 0) или стоков (q < 0). Элементу объема dx, находящемуся в некоторой точке А объема т, рис_ 135 будет соответствовать источник мощности q dx, и потенциал скоростей этого элементарного источника в любой точке M пространства, заполненного жидкостью как внутри, 396
ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [і Л. VII
так и вне объема т, будет равен:
-"4w '
, q dx d<p-----4
где т — длина вектора-радиуса AM-=X, соединяющего элементарный источник в точке А с текущей точкой пространства М. Пользуясь идеей наложения потоков, определим полный потенциал скоростей в точке M от непрерывно распределенных в объеме т источников в виде:
Lf^. 09,
4я
Подчеркнем, что интегрирование производится по всем элементарным объемам, образующим объем т, т. е. по переменным координатам точки Л, в то время как точка M является фиксированной, в которой определяется потенциал скоростей. Если обозначить через (а, Ь, с) декартовы координаты точки А, а через (х, у, z)—координаты точки М, то формулу (19) можно переписать явно так:
