Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 135

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 231 >> Следующая


а) условие непроницаемости поверхности тела:

Vn = gradM <s = = О на поверхности а,

б) условие на бесконечности

V = grad <о = V00 при г —> оо,

где г—радиус-вектор точек области течения относительно начала координат, расположенного вблизи обтекаемого тела.

Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности а, уравнение Лапласа (15) при только что указанных граничных условиях имеет единственное решение; функция представляющая это решение, называется гармонической функцией. Не останавливаясь на общей теории решения уравнения Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других относящихся сюда общих вопросах математической физики, перейдем к рассмотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем изложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных тел — наиболее важной для практики пространственной задачи. Что касается вопроса об обтекании тел произвольной формы, то, в отличие от плоского движения, соответствующая задача в пространстве представляет непреодолимые трудности.

Начнем, как и в случае плоского движения, с установления потенциалов наиболее простых движений.

1°. Однородный прямолинейный поток, параллельный некоторой прямой, имеющий повсюду одинаковую заданную скоросгь V с проекциями и, V, w, будет удовлетворять очевидной системе равенств:

J^-= И = Const, -^2- = 7/= const, = W = const, 394

ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ

[і Л. VII

Следовательно, потенциал скоростей в этом случае равен

® = UX -J- vy WZ = V (Х COS К -\~У COS 3 -J- Z COS Tf), (16)

где а, |3, — углы заданного направления потока с осями координат Ox, Oy и Oz.

2°. Поток источника (стока) мощности Q будет симметричен относительно положения источника и даст поле скоростей, отвечающее очевидному условию сохранения расхода

V. 4Tzr2 = Q,

где г — радиус-вектор некоторой точки потока относительно источника; отсюда получим:

V-

Q

Замечая, чю в сферической системе координат

_ у—V--L-1*

дг~~~ 4 пг2' е г sin 6



де

О, V11 -

1 ду

О,

найдем искомый потенциал скоростей

T =

SL

4 яг'

(17)

причем, в случае источника Q> 0, в случае стока Q<0. В выражении (17) нетрудно узнать простейший случай ньютонова потенциала, встречающийся в теории притяжения, электростатике и др.

3°. Поток диполя получим, используя допустимое в силу линейности уравнения Лапласа (15) наложение частных решений уравнения. Определим сначала потенциал скоростей поля, создаваемого совокупностью источника и стока с равными по абсолютной величине мощностями Q.

Расположим сток (рис. 134) в точке Л прямой линии AL, источник — в смежной точке А', находящейся от точки А на

расстоянии AA' = As. Определим потенциал скоростей е в некоторой точке M

с вектором-радиусом AM = г, образующим угол Ь прямой AL; будем иметь:

Рис. 134.

с направлением

?

-JL-Jr-SL 4?ir' 1 4ъг' ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР.

395

Предположим гепер,., чго, аналогично тому, как это имело место в случае плоского диполя (§ 38), источник сближается со стоком, но гак, что мощность увеличивается до бесконечности и при этом выполняется равенство:

Iim Q ' AA' = т (конечная величина). Q-*- со

Тогда, переписывая потенциал скоростей © в виде

е,—1 Q.AA'.llr'^1/r 4ti AA'

и переходя к пределу, получим следующее выражение потенциала скорое і ей:

tn d ( 1

4jc ds

(г)- <¦«>

или, вычисляя производную и замечая, что, согласно рис. 134, й і IN Idr cos б



ds\rJ г2 ds гг ' получим еще такое его выражение:

т со§ О

4 кг* '

Полученный предельный поток с потенциалом скоростей определенным формулами (18) или (18'), называют потоком диполя, находящегося в точке Л, имеющего ось AL и момент т. Иногда момент диполя рассматривают как вектор га, имеющий величину т и направленный по оси диполя AL; при этом потенциал диполя можно представить в виде:

tP= -SS- («")

4°. Непрерывное распределение источников в пространстве. Предположим, что внутри некоторого объема х (рис. 135) непрерывно распределены источники (стоки) так, что на единицу объема приходится мощность q. Величина q, представляющая функцию координат точек в объеме -с, играет роль объемной плотности распределения источников (q > 0) или стоков (q < 0). Элементу объема dx, находящемуся в некоторой точке А объема т, рис_ 135 будет соответствовать источник мощности q dx, и потенциал скоростей этого элементарного источника в любой точке M пространства, заполненного жидкостью как внутри, 396

ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [і Л. VII

так и вне объема т, будет равен:

-"4w '

, q dx d<p-----4

где т — длина вектора-радиуса AM-=X, соединяющего элементарный источник в точке А с текущей точкой пространства М. Пользуясь идеей наложения потоков, определим полный потенциал скоростей в точке M от непрерывно распределенных в объеме т источников в виде:

Lf^. 09,



Подчеркнем, что интегрирование производится по всем элементарным объемам, образующим объем т, т. е. по переменным координатам точки Л, в то время как точка M является фиксированной, в которой определяется потенциал скоростей. Если обозначить через (а, Ь, с) декартовы координаты точки А, а через (х, у, z)—координаты точки М, то формулу (19) можно переписать явно так:
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed