Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Mt- V1) = P2 (t. V2). Вектор R на основании (69) принимает значение R = (P1 —Pa) * — Pi (* ¦ Vi) Уф
(Ь9)
(Ь«0
где Vd обозначает ранее введенный век юр девиации (отклонения) скорое ги потока решеткой
Чг
V1-
(70)
По іеореме Бернулли для адиабатическою и изэнгроиического потоков имеем:
Pi
1
ft-f
362 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
где А представляет скорость потока, отнесенную к критической скорости:
* — «* — V
k + J ио-
Производя разложение в ряд по степеням X, получим вместо предыдущего равенства
Рг-Р^Т^Ро^-^-ц^ІЇІ + ^^г •••}• (71)
Составим еще среднюю арифметическую из плотностей до и за решеткой
і _і_
pw=|-(pi + p2) = p0[(1 -grpj^y 1 -f- — Iqpj ^tjh
которая после разложения в ряды примет вид:
Pm — Po [l — 2(&'|-......1) + + . • • j •
Сравнивая последнее выражение с равенством (71), убеждаемся, чго с точностью до величин X4 имеет место приближенное равенство
л-"-bFFTft'э
= W^hs ¦ ''--T^vi-1'« =|p.(va+v,). (V2-V1),
или, вводя, как и ранее, среднюю векторную скоросгь
Vro = 4 (V1+ V2)
и скорость девиации потока решеткой (70), получим следующее при-ближеное выражение для разности давлений до и за решеткой
Pi-P2^ PmVsit • Vtf. (72)
Обратимся к рассмотрению второго слагаемого в правой части равенства (68'). Имеем по (69):
P1 (t • V1) = Pm (t. VJ + p1 (t. V1) - Pw (t • Vm) =
= Рш (t • VJ + - Рт) (t. VJ -
= Ы (t ¦ V.) = [ 1 - (^?)] P. (t• VJ. (73) § 56]
РЕШЕТКА ПРОФИЛЕЙ В ДОКРИТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ 363
Легко видеть, что вычитаемое в квадратной скобке представляет величину порядка Xі; действительно, по предыдущему:
Po /і2 Гі 2-k ,,2 , ,2. , 1
Pi — P2 =TTfT fa — '^L1 — 2(Л+1) ^ + + ---J'
Pi + Р2 = 2Ро[* — 2(6 + 1) O'l-l- xS+ •••],
(S) =To^I1+1^+'-?+ -]¦ <74>
Итак, с ранее принятой степенью приближения Pi (t-VO = rVi(t-VJ.
Подставляя полученные выражения pt — и P1 (t • V,) в основное соотношение (68'), окончательно получим следующее приближенное равенство:
R=aPwCVe • Vd)t-p„(t • VJVd==p№VMX(t X V^ (75)
представляющее искомое обобщение теоремы Жуковского на случай решетки, обтекаемой сжимаемым газом при не слишком близких к докритическим значениям чисел M1 и M2 вдалеке до и за решеткой. В ранее цитированной нашей работе приводится анализ порядка ошибки, возникающей при пользовании этой приближенной формулой. Относительная ошибка не превышает величины
0,2 (Mi — Mo)2.
Таким образом, приходим к следующему выводу: при докрити-ческих скоростях подъемная сила профиля в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, может приближенно определяться по формуле Жуковского для несжимаемой жидкости, если плотность этой жидкости приравнять среднему арифметическому плотностей газа вдалеке перед и за решеткой.
Как показал Э. М. Берзон,1 аналогичное обобщение теоремы Жуковского будет иметь место с той же степенью приближения, если вместо среднего арифметического плотностей взять среднее арифметическое Vr соответствующих удельных объемов газа до и за решеткой или, что все равно, среднее гармоническое р'т плотностей
v- ъ±к или JL=L/±+±\. 2 р'т 2 Ipj Pg/
Заметим, прежде всего, что в этом случае равенство (73), в кото-Ром рт заменено на р'т, выполняется точно. Действительно, прибавляя
1 Э. М. Берзон, О силе, действующей на профиль в решетке. Труды
Ленинградской военно-воздушной шш. академии, вып. 27, 1949. 364 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
к обеим частям (69) по равному количеству P1 (t • V2), будем иметь:
P1MV1+V2) MPi+P2Mt-V2), или, деля обе части на 2р1р2,
отсюда сразу следует искомое точное равенство
PiCt'VJ-p^t.V^-ft^.VJ. (730
Составляя разность
_ • __ Pi+ Ps 2ріру __ (Р1 + Р2)2 —4рір2 __
Vm Pto 2 P1+Ps 2 (P1+ р2)
_(pi — PsP _ „ Ґ Pi—Pa
Vf
"~2(й + Р») PmVpi + pa
и вспоминая (74), видим, что с выбранной степенью точности рт совпадает с р'т.
Можно доказать, что теорема Жуковского для решетки в сжимаемом газе выполняется точно, если заменить адиабату (изэнтропу)
на касательную прямую в точке (ро> J")> а удельный объем принять
равным среднему арифметическому удельных объемов газа до и за решеткой.
Для этого, подобно тому, как .-по делалось в § 54, прежде всего перейдем от переменной X к переменной ц, равной
V а
?=Zrfrx-
тогда уравнения изэнтропического движения примут внд:
к
>=/Ц1--2—V-)
і
(л k~x
'=Ро(1—§ J •
а замена изэнтропы касательной к ней будет эквивалентна использованию равенства к =—1; в силу этого получим:
____а_ 2
Pl -Р2 =p0(Vl + Vl + =PO .--I ^t-=- .
f=^(1+-1-)=J-СКГні+УТТ?3).
Pm 2 Vp1 Ps / 2ро § 56] РЕШЕТКА ПРОФИЛЕЙ В ДОКРИТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ
365
Отсюда будет следовать:
PmPo (vI vI
Pi-Pi-. -----
2р0 Ч«о
что При k= — 1 п йд = — — дает
P1 —р2 ==1-р 'т (Vl-Vl) = PmVm • Va.
Подставляя в равенство (68') полученное значение р^—р», а также значение P1(^V1) из (73'), окончательно найдем:
R = «4 (Vis -Vfpt- р'а (t. V№) Vti = р>« X (t. Vd). (76)
Итак, главный вектор сил давления потока на профиль в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, при докритических числах M выражается той же формулой Жуковского, что и в случае обтекания несжимаемым газом, это оказывается верным постольку, поскольку изэитропа заменена касательной к пей в некоторой промежуточной точке, а плотность газа положена всюду равной среднему гармоническому из плотностей газа вдалеке перед и за решеткой. При расчете решеток в дозвуковом потоке можно с достаточной степенью приближения использовать линейную изэнтропу, как это делалось в §54; при этом естественно пользоваться и предлагаемым обобщением теоремы Жуковского. Относительная разница между средней арифметической рт и средней гармонической р'ш из плотностей до и за решеткой ие существенна, так как
