Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Можно разыскать и непосредственную, явную связь между рсж и рис, если воспользоваться указанным Чаплыгиным приближенным приемом замены действительной изэнтропы касательной к ней прямой.
Возьмем точку —) изэнтропы (рис. 113)
-ft
JH
PhO
(т)"
(58)
и проведем касательную к изэнтропе в этой точке; вычисляя угловой коэффициент
dp
'(I)
.bJPо Dfc+1 R~k Po
Po
2 2 - «А'
P = Po
получим уравнение касательной в виде P-P0 = Ро«о
V Po P J
(580
Используя приближенную изэнтропу (58') и вводя вместо X новую переменную _
aO
получим:
k+l
(59)
а
1 — MS =
1
1 +H^'
Po
'О P M =
-S' T = T = VpI+ ^
Y !+V2'
1 Я. И. JI е в и н с о н, Аэродинамика больших скоростей. Оборонгиз, 1948,
стр. 266—277. j; 54] MR ГОД ХРИСТИАНОВИЧА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ .! к!
после чего сисісма уравнений (45) § 53 примет вид:
д<? —з
Ж=^1 + 1* V'
dip_ 1 di
"ajT У"Г+р ~дё~'
и, после замены переменных,
dp
VT-
¦ = ds
совпадет с системой уравнений (53); при зі ом K = 1- Соотношение безразмерных скоростей (55') заменится простым приближенным равенством
Jdv _ Г
JT J (л Yl + (J.'2'
которое легко интегрируется и дает
InjT= In-^ +InC.
1 + Yl + P 2
Подчиняя постоянную интегрирования С условию:
прн — 1,
найдем, что C = 2 и, следовательно, окончательная форма приближенной связи между скоростями обтекания крылового профиля несжимаемым н сжимаемым газом будет иметь вид:
? = J^r-V (60)
1 + У 1 + P
или, разрешая относительно у,
Р = (60')
4 —р2
Выведенные только что приближенные соотношения вытекают из предыдущих точных, если положить в них k = — 1, предварительно, где это надо, заменив л на ц по (59). Такой формальный прием полезен для сокращения выкладок и будет далее использован.
Выразим рвс н рож через эти новые переменные. Будем иметь непосредственно по (56) и (59):"
Далее, пользуясь определением (59), получим при k — — 1 вместо (57)
" /HV V/2
1
= -2^^(1/1+^-/1 + 14)- (62)
V-C0
23 Зак. 1841. Л Г. Лойшшский. ЗГ>4 плоское безвихревоі движение сжимаемого газа
Но, согласно (60'):
H I^2=I-
16[х2
1 + ,,2 =
(4 —р2)2
4+?,
(4±?)2 \4-Р>/'
Я.,=-2-
+ Ко/4-І'I^2 4 \4->
:—2
4 —14
іЛ + ,4
H-O
Из (61) сразу следует:
кроме того, при к =— I-
(W
ос -
«О
(4 (j.s) (4-іО -v-irpuo. ij-2 -=14(1 —ряс)'
9 * я >
«С, M-
+j^r-K,)
1—М;
^ »
i + .4 = i
1
1-М2 1 — M2
СО OO
Подставляя эти выражения в равенство (62'), получим
16 ,,-т-
Pc
VooPso
Mi
[4-(1-FhcR](4-?J
Наконец, заменяя еще в последней формуле, по (60),
^Vco 2Мм
(гл. Vl
(62';
после простых приведений, окончательно получим искомую приближенную формулу:1
Рож
P HC
(63)
Vl-K +
м!
2 l + ]/l—м!,
1 Г. В. Липман и А. Е. Пакет Введение в аэродинамику сжимаемой жидкости. Изд. иностр. лит., 1949, стр. 226 — 243. § 54]
mftcwl христианович нриіілижпнныг формулы
355
Если при малых значениях psc, что соответствует теории тонкого крыла, пренебречь вторым слагаемым в знаменателе, то формула эта перейдет в ранее указанное соотношение Прандтля:
Рве
(63')
^CjK , /--TT
Vi-K
Формул.! Жуковского подъемной силы крылового профиля
(64)
остается справедливой и в случае дозвукового обтекания профиля сжимаемым газом, причем циркуляция, соответствующая этому обтеканию, может быть получена из циркуляции, соответствующей несжимаемому обтеканию, но формуле 1
Vi-M^
'1.0
Pcac -0,8
-0,6
-О,h
-QZ
Эксперимент
—ХристианоВич (Iе прибл) -карман - Тзян
---Прандтль
Аналогичные формулы имеют место и для коэффициентов подъемной силы и момента. 2
На рис. 114 приведено сравнение с опытом результатов расчета коэффициента давления р(.к в одной точке верхней поверхности крылового профиля NACA 4412, находящейся на расстоянии 30% хорды от носика, при угле атаки а = — 2' и при различных значениях числа Mco-
Как видно из рисунка, примерно до M00 = 0,2 все методы, включая и приближенную формулу Прандтля (63'), совпадают. Профиль NACA 4412 имеет двенадцатипроценг-ную относительную толщину и сравнительно большую (4%) вогнутость; этим объясняется, почему приближенная формула Прандтля, пригодная лишь для тонких, мало изогнутых профилей при малых углах атаки, оказывается неприменимой даже при сравнительно небольших значениях числа M00. Кривая, рассчитанная по Христиановичу,
О
О,г
OA Рис. 114.
О,В
1 См. ранее цитированную работу С. А. Христиановнча 1940, а также М. В. Келдыш и Ф. И. Ф р а н к л ь, Внешняя задача Неймана Для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом газе. Изв. АН СССР, отд. матем. и естеств. наук, 1934.
2В.С. П о л я д с к и й, Влияние сжимаемости на аэродинамические характеристики профиля крыла при больших скоростях полета. Издательство Бюро новой техники HKАП, вып. 21, 1943.
23 356
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
