Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ Б4. Метод С. А. Христиановича. Приближенные формулы учета влияния сжимаемости на распределение давлення
Следуя С. А. Христиановичу,2 введем прежде всего в уравнения Чаплыгина (46) вместо независимой переменной т новую переменную к, равную
1-/Sr w
тогда, замечая, что
сдХ д __ уГTTT 1 д __ k + 1 1 д
ді (HdX г k— 1 2 уТ д) ~ k— 1 21 дХ ' перепишем уравнения Чаплыгина (46) в виде: dtp__X_<Н
Ax*)
k f-1
d? ___1 — X2 дф
дХ ~ дЪ
k+lK)
' 1
(49)
Если теперь ввести вместо X независимую переменную s, связанную с X дифференциальным соотношением
Г 1-Х2 dX _ г Г
1 В настоящее время вышло новое издание работы С. А. Чаплыгина „О газовых струях" в серии „Классики естествознания", Гостехиздат, 1949.
2C. А. Христианович, Обтекание тел газом при больших дозвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940, а также С. А. Христианович и И. М. Юрьев, Обтекание крылового профиля при докрнтическои скорости потока. Прикл. матем. и механ., т. XI, вып. 1, 1947. jj 541 mftofl христиановича. приближенные формулы
345
то система уравнений (49) приобретет „каноническую" форму:
дf _ 1/Р W
W-vkSS'
где величина К представляет следующую функцию А:
(51)
K=-• (510
(л к~Х ^fc-1
Решение задачи о бесциркуляционном обтекании профиля сжимаемым газом при сравнительно малых дозвуковых скоростях, основанное на применении упрощенной системы уравнений, было дано впервые проф. Н. А. Слезкиным в 1935 г.1
С. А. Христианович исследовал общий случай циркуляционного обтекания крылового профиля и предложил метод интегрирования строгой системы уравнений (51) путем последовательных приближений.
В настоящем курсе мы принуждены опустить изложение глубокого по идеям, но весьма сложного с математической стороны метода С. А. Христианович а и удовольствоваться лишь простейшим приближением, дающим при не слишком больших дозвуковых скоростях2 удовлетворительную точность.
Выразим величину К в функции числа М. Для этого заметим, что по формулам (66) гл. IV:
— ТТЕГТ
w W а Г T ,.-Ж / 2
а* а а* V Г* Ш , , k — 1
M
k—i
(52)
М«
а следовательно:
1-х»*= і * + * = 1Tjv^
¦ j№ 1 4-—к—
/2=1
¦ 1 k +1 M4
Hl ' k+l 2 , . k 1
M2 1 4- —-M2
1 H- А. С л е з кин, К вопросу о плоском движении газа. Труды МГУ, 1435, а также ДАН, нов. сер., т. Ill, № 9, 1936
8 См. только что цитированные работы С. А. Христиановича и осо-оенно последнюю из них, в которой дан подробный анализ первого приближения. Вопрос об области применимости рассматриваемого приближения Далее несколько уточняется. 346 плоское безвихревое движение сжимаемого газа [гл. vi
Таким образом, К, как функция от числа М, равна:
2
k= (1— M2J^l +-?1-1 М2)*=>. (51")
Приводим график зависимости величины ]/ К от X и M (рис. 108), а также табл. 7 значений У К для воздуха (k = 1,4).
Таблица 7
X M Yk M Yk \ M Yk
0 0 1,0000 0,35 0,3228 0,9965 0,70 0,6668 0,9221
0,05 0,0457 1,0000 0,40 0,3701 0,9940 0,75 0,7192 0,8925
0,10 0,0913 1,0000 0,45 0,4179 0,9899 0,80 0,7727 0,8416
015 0,1372 0,9999 0,50 0,4663 0,9840 0,85 0,8274 0,7740
0,20 0,1832 0,9996 0,55 0,5152 0,9754 0,90 0,8834 0,6788
0,25 0,2294 0,9991 0,60 0,5649 0,9632 і 0,95 0,9409 0,5092
0,30 0,2759 0,9982 0,65 0,6154 0,9461 1,00 1,0000 0
Как видно из графика и таблицы, у К при не слишком близких к единице значениях X и M мало отличается от единицы; так, например, при X = 0,65, M =0,61 величина ~\ГК только на 5% отличается от единицы.
Заменим в системе (51) YK постоянной величиной, котрую включим в состав функции ф. В частности, можно положить K= 1 или к = Kco-Тогда вместо точной системы уравнений (51) получим в плоскости (s, 0) приближенную систему уравнений
ду_ду___у-р-оч
U Й6 ds' ds~~ дв' ( J D О,Z 0,4 0,6 Ofi 10 Jl ничем не отличающуюся от Рис. 108. условий Коши — Риманна, свя-
зывающих <р и ^ в плоском движгнии несжимаемой жидкости. Равенства (53) естественно сравнить
с аналогичной системой уравнений в плоскости годографа (s, (J) для несжимаемой жидкости (X = O) („змейка" над буквой показывает, что соответствующая величина относится к потоку несжимаемой жидкости): і
f^j r*j * jj
д-в _ <Ц>_ df _ __?53') j
d<T ds ds дії jj 541 mftofl ХРИСТИАНОВИЧА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ 347
Здесь под Ь понимается угол вектора скорости несжимаемого потока с осью абсцисс, а под s — величина, определяемая равенством ~ dw dl w\
ds=-^- = —, (54)
w X 4 a '
вытекающим из (50) при A = 0.
Предположим теперь, чго в физической плоскости течения не-
fNJ
сжимаемой жидкости г определено обтекание заданного крылового
профиля С с циркуляцией, отвечающей плавному сходу струй с задней
кромки профиля. Вычисляя W, А, 6, s, э и ijl в функции ot X, у,
можем определить и все элементы в плоскости годографа (0, s), в частности граничные условия задачи в этой плоскости.
Переходя к приближенному решению задачи обтекания контура сжимаемым газом, потребуем, чтобы:
6 = 0, s = ? (55)
Для этого, согласно (50) и (54), достаточно связать скорости w и w или, что все равно, безразмерные скорости А и А соотношением:
