Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
_ ' у „ „ „ 2
Pm Pm
/Рі_^s \ 1 ґ} 2 ізуа
' \ Pt + р2 ' ~' 4 (к + I)2 * 8 '
Р«» V P1+ р2/ 4 (А:+1)2 например, для воздуха (к = 1,4) это отношение ие превосходит 4% от малой величины (Х|—Ц )м.
Вопрос об учете влияния сжимаемости газа на распределение давления по поверхности профиля произвольной формы в решетке с данными параметрами еще не доведен до практического решения. Принципиальной особенностью задачи об обтекании решетки сжимаемым газом по сравнению с изолированным профилем служит наличие в решетке взаимного влияния профилей друг на друга. Как было показано в § 51 (рис. 103), при возрастании числа M в дозвуковом потоке размеры области влияния обтекаемого профиля также возрастают. Поэтому, если попытаться в грубом приближении свести обтекание профиля сжимаемым газом к некоторому условному потоку несжимаемой жидкости (вспомнить § 52), то следует: 1) увеличить, как и в случае единичного профиля, в 1 —
Vl -Ml
раз ординаты заданного профиля в решетке и 2) уменьшить взаимное расстояние между профилями в то же число —=== раз, т. е.
Vl^K
1
уменьшить в раз относительный шаг. Таким образом, влияние
Vi-K 364 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
сжимаемости газа на обтекание профиля в решетке оказывается более значительным, чем в случае единичного профиля.1
Аналогичное явление повышенного влияния сжимаемости имеет место и при продувке единичного крылового профиля в аэродинамической трубе с рабочим участком, ограниченным твердыми стенками. Влияние увеличения стеснения потока помещенным в него крылом на аэродинамические характеристики профиля быстро возрастает с увеличением числа Mco набегающего потока.
§ 57. Нелинеаризированный сверхзвуковой поток. „Характеристики" уравнений плоского сверхзвукового потока. Линии возмущения и их основные свойства
Теория сверхзвуковых течений представляет в настоящее время наиболее хорошо разработанный отдел газовой динамики. Существуют графические и аналитические методы приближенного решения задач сверхзвукового обтекания, опубликованы также и некоторые случаи точных решений простейших задач. Изложению этих вопросов посвящены специальные курсы газовой динамики.2
Основное значение для понимания сверхзвуковых процессов движения сжимаемого газа имеют „линии возмущения", представление о которых уже было дано в § 28 гл. IV при изложении нестационарного одномерного движения газа и в § 51 настоящей главы при исследовании линеаризированного движения. Рассмотрим некоторые общие свойства линий возмущения в плоском безвихревом сверхзвуковом потоке.
Вернемся к основной системе дифференциальных уравнений плоского потока сжимаемого газа (4) и (5). Обобщая прием, изложенный в § 28 гл. IV при решении задачи Риманна о распространении „конечных возмущений", составим линейную комбинацию уравнений (4) и (5); умножим соответственно первое из этих уравнений на X,, второе— на X2 и сложим их между собой. Тогда получим:
X2 (a*- (X1 - X2^) Ц- (X1 + X2^) ^ + X2 («2-^)0 = 0
или
ду \ 1 -Г ^"J SxT- V" " ^Sy
і ґ/г2 „2\ ди г h — huv д Ul
(77)
1 См. ранее цитированную книгу Липмана и Пакета, стр. 206.
2 Подробный и полный обзор опубликованных исследований по вопросам сверхзвуковой аэродинамики как советских, так и зарубежных ученых см. в курсе Кибель, Ко чин и Розе, Теоретическая гидромеханика ч. И. гл. 1. Гостехиздат, 1948. См. также A. Ferri, Elements of Aerodynamics of Supersonic Flows. New York, 1949. Jj T)7| 11E л и HІЛ P и 3 и po В МШ ЬІЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 367
Попытаемся теперь найти в каждой точке плоскости (л:, у) такое направление с угловым коэффициентом
dy
т = Гх>
чтобы выражения в квадратных скобках равенства (77) представили производные по этому направлению соответственно от и и v:
ди , a1 — XiUV ди _ди і ди dy___ди_ _du )
дх X2 (я2 — я2) ду дх ' ду dx дх 1 ду dx' I
dv X2 (а2 — V2) dv_dv ^dv dy _dv , dv _dv j ^^
dx X1 -{- X2Hf dy dx 1 dy dx dx dy dx' J
Для выполнения этих условий необходимо подчинить величины X1 и Xs очевидной пропорции:
Л!-Wffi _ h [Cl1-V-) ^
a2 (а" -— и2) -(X1-LX2HtJ) [ )
или, что все равно, удовлетворить системе равенств:
Xj -i2uv — ota2 ((i2-w2),
A2 (а2 —V2) = — m (X1 -f- k^uv).
Собирая здесь члены с X1 и X2, получим однородную систему уравнений:
X1 — X2 [от (а2 — tt2) -j- UV] = О, OtX1 -j- X2 [я.2—V2 -f- uv] = О,
имеющую отличные от нуля решения только при равенстве нулю определителя системы, т. е. при выполнении следующего квадратного уравнения относительно m:
(іи2 — а2) от2 — 2uvm -J- (v2 — а2) = 0. (80)
Составляя дискриминант уравнения (80)
иЧ2 — (и2 — a2) (V2 — а2) = а2 (а2 -J- v2 — a2) = a2 ( V2 — а2),
убедимся, что уравнение (80) будет иметь действительные решения только в сверхзвуковом потоке при выполнении условия
V^a или M^l.
В каждой точке сверхзвукового потока можно указать два соответствующих сопряженным корням квадратного уравнения (80)
mW = I^Jif3--2--(81) 368
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
