Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Объем настоящего курса не позволяет останавливаться на изложении различных существующих методов приближенного решении нелинеаризированных уравнений.1 Наибольшее применение для решения газодинамических задач в последнее время получили уравнения Чаплыгина, открытые им еще в 1901 г. и опубликованные в известной докторской диссертации,2 представленной к защите в Московский университет в 1902 г. С. А. Чаплыгин показал, что, если в уравнениях движения сжимаемого газа перейти от независимых переменных х, у в физической плоскости к новым независимым переменным: модулю скорости движения [ V |, в дальнейшем обозначаемому через но,
1 См. И. А. К и б е л ь, Н. Е. КТ> ч и н и Н. В. P о з е, Теоретическая гидромеханика, ч. II, гл. I, Гостехиздат, 1948, а также Р. З а у э р, Введение в газовую динамику. Гостехиздат, 1947.
2 С. А. Ч а п л ы г и н, О газовых струях. Учеи. записки Моск. универс-. отд. физ.-мат., вып. 21, 1904.
(38) § 53] НЕЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА 341
и углу б вектора скорости с осью Ох, в плоскости годографа скорости, то нелинейные в физической плоскости (х,у) уравнения газовой динамики становятся в плоскости „годографа скорости" (да, 6) линейными.
Для доказательства этого важного результата используем введенные ранее потенциал скоростей и функцию тока, положив:
и дх' ду'
P дф р _
Po ~~"ду' Po "дх'
где P0 — плотность в покоящемся газе; отсюда следует:
(39)
и dx -f v dy = do, j
Po \ (40)
или,
— V dx -J- a dy = у dty, і , умножая второе уравнение на і = ]/~— 1 и складывая с первым,
(и — iv) d(x-\- iy) = do -f- /— й!ф.
P
Заменяя в последнем равенстве:
и — iv = we-iB, х-\-іу = г, получим соотношение
rf* =^rfcp+ ^)-1-^, (41)
обобщающее на случай сжимаемого газа известную уже по предыдущей главе связь между сопряженной скоростью и производной от комплексного потенциала по координате.
Чтобы перейти к новым независимым переменным да и 6, будем считать г, «р и ф функциями да и 0; тогда равенство (41) перейдет в следующее:
w \dw 1 р dw) 1 w V M ' p db J
Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых дифференциалах новых независимых переменных, получим:
02 _ 1 (Ъ +i?±p\eiK j
dw р dw J j ,
\ (42)
dw w dw p dw
d?__I fdt і ,-Pn дйі\
db ~ w [ dfl p db)
Л b 342
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[гл. Vi
Напомним, что входящая в систему (42) величина —, равная по
P
известной формуле изэнтропического движения
йЦі+^м-)'"1,
(43)
зависит только от величины скорости w, а не от ее направления 0.
Чтобы исключить из системы уравнений (42) старую независимую переменную z, продифференцируем первое уравнение (42) по 6, второе— по w и результаты вычтем друг из друга, тогда, в силу очевидного соотношения
дгг __ д?г dbdw ~ dwdb '
получим равенство:
і (Лі- . ;?0 лів > 11егь^1_ __ PO 1 =
w\d6dw * р dbdw} ' w dw p w dw
-4
w\
dw йв
/Po ^ ) ( p dw 50 J '
e ae
1 dw \w p / 06
которое после очевидных сокращений и выделения действительных и мнимых частей приведет к следующей системе уравнений:
1 d<f _ d /1 РоЧдф w dw dw р ) дЬ ' df _р0 дф
w дб р dw '
Замечая, что
d /роЛ ____?о _POm О. . !ЇЕ__ -Pfi..1 dP-
dw V p / p2 dw о2 dp ' dw
(44)
P2 я2 rf®'
а по теореме Бернулли
найдем
wdw = —
dp
d і PoN Po w
dw I4 p J p a* '
после чего система (44) окончательно перепишется в форме:
О*= — PO-Ln-Ms)^
dw р } db '
Ё± дЬ
Po
р dw
(45)
Введем вместо w переменную Чаплыгина т, равную
k — 1 Wt
k + l а:
где а* — критическая скорость. ^ 53} нелинеаризированные уравнения движения газа 343
Заменяя в формуле Бернулли (гл. IV)
.__а8 *+' „л
2 * k—l 2CA — 1) '
согласно предыдущему равенству
ft + 1 Шг
а*" —
получим: откуда следует:
k—l X
ь-і)
1 Л П о __ а*_
ft — I
M2=^
k — l 1—T k 1
-M2= к~~х
а по (43)
Po
-M2)
1-1
й—t
кроме того,
P V* ' 2 J — (i '
dfL —І?1 (Ц__2 -EL.
д® d® dt a*2 dt '
д>1>_2 ft— I w дф
йда ~~ ft+І a*s дх '
Подставляя только что найденные выражения в систему (45), получим систему уравнений Чаплыгина:
fc+1
ІІ = _ JL 1 k — l " дф
д-z 2х дб '
д<у __ 2т df
W^ (I-X)1Zk-1 дг •
(46)
Перекрестным дифференцированием и вычитанием уравнений системы (46) можно получить* раздельные уравнения для <р и ф, причем эти уравнения будут линейными уравнениями второго порядка в частных производных. Так, например, уравнение для функции тока ф имеет вид:
i-it-!.
Щ+—S=VS-O1 т,
2х (1 — х)к-~г 344
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО газа
[ГЛ. VI
или, если вернуться к координатам w, 6 и ввести местную скорость звука а,
^2 Ш +w (:1 + ЦТ) Ш + {1 - -2?) W= (47 )
Диссертация С. А. Чаплыгина содержит изложение ряда применений предыдущих уравнений к расчету струйных обтеканий тел. Для решения этой задачи устанавливаются общие разложения в ряд, которые позволяют непосредственно судить о влиянии сжимаемости газа при дозвуковом течении на струйное обтекание тел. Отсылая интересующихся к оригиналу,1 обратимся к рассмотрению другой задачи—о дозвуковом безотрывном обтекании крылового профили
