Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
25 Зак. 1841. Л Г. Лойцниский. 386
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Перечисленные только что два характерных типа сверхзвуковых течений: 1) ускоряющегося и расширяющегося потока, проходящего сквозь непрерывные совокупности линий возмущения, служащие
линиями плавного разрежения потока, и 2) замедляющегося и сужающегося потока, скачкообразно изменяющего свои параметры при прохождении через системы дискретных косых скачков, постоянно наблюдаются как при сверхзвуковых обтеканиях крыловых или лопаточных профилей, так и при протекании газа сквозь сопла и насадки. В частности, эти явления имеют место на выходе из сверхзвукового сопла, если противодавление в камере не совпадает с расчетным давлением в выходном сечении сопла. В том случае, когда давление в камере не-
сколько больше, чем в выходном сечении, струя сужается, и на выходе образуются косые скачки, повышающие давление выходящего из сопла газа (рис. 130, а). Если же давление в камере меньше, чем в выходном сечении, то поток продолжает расширяться, плавно уменьшая свое давление при прохождении через пучок линий возмущения (рис. 130,6).
Аналогичные явления происходят и при внешнем обтекании профилей. Нарис. 131 для примера показана схема обтекания идеальным сверхзвуковым потоком пластинки, образующей с направлением потока конечный угол атаки.
Действительно происходящие явления усложняются как наличием отраженных волн от стенок каналов или смежных тел, так и не-идеальностыо газа, приводящей к образованию пограничного слоя, создающего принципиальные изменения в картине скачков.
Линии разрежения
Рис. 131. ГЛАВА VlI
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 60. Ортогональные криволинейные координаты в пространстве. Основные дифференциальные операторы поля в криволинейных
координатах
При исследовании пространственных течений постоянно приходится пользоваться различными криволинейными системами координат: цилиндрической, сферической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен: от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий и многое другое. В плоском движении роль криволинейных координаг, как это было показано в § 40 гл. V, играет метод функций комплексного переменного и конформных отображений; переход от физической плоскости г = х-\-іук вспомогательной плоскости С = Є —(— tTQ был эквивалентен пользованию криволинейными координатами ?, yj вместо прямолинейных х, у.
Имея в виду сказанное, напомним вкратце основные формулы теории ортогональных криволинейных координат.1
Положение точки в пространстве трех измерений можно определяй» как заданием трех ее декартовых координат х, у, г или вектора-радиуса г с проекциями х, у, г, так и любой другой тройкой чисел Cj1, <72) Яч—криволинейных координат — связанных взаимно-оп позначным функциональным соответствием с координатами х, у, z:
1 За подробностями отсылаем к курсу Н. Е. К о чин, Векторное исчис ление и начала тензорного исчисления. ОНТИ, 1934, стр. 202—220.
x = x(qi, q2, qs),
У=УІЯі, Яд,
(1)
г=г(ди Яъ ,Яг),
или эквивалентным векторным соотношением
г = г(я» Яъ Яз)-
СЮ
25* 388
ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [і Л. Vii
Изменяя (рис. 132) одну из криволинейных координат qt и сохраняя постоянными остальные две, получим некоторую кривую линию в пространстве, называемую координатной линией (qt). Через каждую точку M пространства можно провести, таким образом, три координатные линии: (?,), (#2) и (#8). Каждая координатная линия представляет годограф вектора г, соответствующий изменению одной из криволинейных координат. Проводя через точку M касательные к координатным линиям в сторону возрастания отдельных координат, получим координатные оси в точке М. Легко понять, что орты (единичные векторы) этих координатных осей будут равны
Ny гак как векторная производная
рнс 232 (^V 01 вектора-радиуса г по ска-
' лярному аргументу дг напра-
влена по касательной к соответствующему годографу, а в результате деления вектора на ею модуль получим вектор единичной длины, т. е. орт. Введем так называемые коэффициенты Ляме:
Н,
ддг
тогда предыдущая формула даст следующее выражение ортов координатных осей: . ,
к=4г Il- (3)
1 H1 ддг
Условие взаимной ортогональности координатных осей будет:
О, іфї,
kf^-U i=j,
или
ьdJ-HL_LІ!Ii = о если іфі ддг dq} r dqt dqj ^r dqt dq3 ' ^j'
Дифференциал дуги dst координатной линии (Qi) равен модулю частного дифференциала вектора-радиуса по аргументу Qi:
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
389
В ортогональной системе координат дифференциал любой дуги ds складывается из дифференциалов дуг координатных линий по правилу прямоугольного параллелепипеда:
ds2 = dsl + dsi + dsl = Hldql 4- Htdql 4- H'4ql (4)
Наряду с координатными линиями и касательными к ним — координатными осями — вводят в рассмотрение координатные поверхности [</J и касательные к ним координатные плоскости. Уравнения координатной поверхности получим из (1) или (Ґ), если будем считать постоянной координату д{, а менять остальные две координаты. В случае ортогональной системы координат через каждую точку M пространства можно провести три взаимно перпендикулярные координатные поверхности и три координатные плоскости. Легко проверить, что каждая координатная линия (q,) будет перпендикулярна соответствующей ей координатной поверхности [<7{]; аналогично расположатся и координатные оси по отношению к координатным плоскостям.
