Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Попарным перемножением дифференциалов дуг координатных линий получим элементарные координатные площадки:
da j = ds2 ds3 = H2Hb dq2 dq3, da2 = dss ds1 = H3H1 dq3 dqv da3 = ds1 ds2 = H1H2 dqx dq2, а также и выражение для элемента объема:
di = ds1 ds2 ds3 = H1H2H3 Aq1 dq2 dqb. (6)
В цилиндрической (рис. 133) системе координат (г*, г, z), связанной с декартовой очевидными соотношениями:
X= Г* COS е, у = г* sin Є, Z= Z,
(5)
Г* = ]/х2
и сферической (г, е, 6):
х = rcos є sin 6, y = r sine sin 0, Z = r COS 0, отличающейся от цилиндрической заменой:
г*' = г sin 6 и г — /-cos О,
будем иметь:
Hr, = 1, He = г*, Hz= 1;
H1 = ], Hs = rsinO, H11 = T, ds2 = dr*2 4- г*2 fife2 4- dz2 = dr2 + г2 sin2 (J й?є2 + г2 db2. (7) do,. = г' de dz, dae = dr* dz, do.. = r* dz dr*; 1 dor = r2 sin 0 ds db, daE = rdr db, = r sin 0 dr de; | (8) dz = r* dr* de dz = r2 sin 6 dr de db. ' 390
ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[і Л. VII
По определению градиента скалярной функции будем иметь: (grad ср),/( = grad ? . kt = ^grad <р ~ =
}_(дА. ^ij HHL\ — — її. cm
HtWdqlTdy dqt~l dz dqj H1 ,Iqi'
1 dt
-J ^
dqj'
Дивергенция вектора может быть вычислена в ортогональной криво-
г
Рис. 133.
линейной системе по формуле
Cjiva^777Lr Id У + * К/У*) , a iafm 1
H1HiHs L Sql п Sq2 ~ dq3 J' v
которую проще всего вывести, применяя известное нам по гл. I интегральное определение дивергенции
diva =
Iim — Г ап
х J
da
к элементарному криволинейному координатному объему dx. Будем иметь (рис. 132):
div a = Hm ~ { — GftAa1 + Ia Ao1
д (aqi Да,)
-^4+-H
¦-нмкаьЯьЩіІ dqt ...],
а после сокращения на dq1dq2dqs, получим формулу (10),
SaqHiHi § 601
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
391
Проекции вихря вектора rota на оси криволинейных координат получим, применяя для отдельных составляющих вихря по направлениям осей и соответствующих элементарных площадок известную теорему Сгокса (гл. 1) о связи между интенсивностью вихря вектора и циркуляцией вектора по элементарному контуру, охватывающему координатную площадку (направление обхода показано стрелками на рис. 132):
rot^doi= $ (dCij а • dr.
Будем иметь приближенно, а в пределе и точно, для одной из составляющих, например rot^a:
rot,,, a dab = rotQj R-H1H2 dqx dq2
[д (а ц й!>.л і
ач dSz ^--dtr dqi\
I , . д (Ug ds1) і
— [eff, ^S1 -|--dq2J — а% ds%
d(agH%dqt) д ((Ig IIl (Iql)
-----dqi--Wt—dq*
Dq1
откуда, сокращая на dqxdq2 и повторяя то же вычисление для других составляющих, найдем:
Xotqi а =
rotff, а =
rotg,a:
1
H2Hs 1
Wh 1
thlL
а
д (aQaHs) d(ag„Hs)
- dq2 dq&
д (UgH1) д (OgH3)
dq3 dqi
д (aft Ih1) д (UgHl)
dqi дія
(п)
Наконец, пользуясь (10) и (9), напишем еще общее выражение для оператора Лапласа в любой ортогональной системе криволинейных координат:
V2<p = div grad <р = H1 IhHi [
JL(^Mh дч\ , JLi1Ml IVnI-J-A (h^
d'h V H1 Qq1) ' Sq2 V H2 BqJ ~ґ dqA V H8 dq3.
Приведем в заключение формулы градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа в наиболее употребительных цилиндрических И сферических• координатах; 392 ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [і Л. VII
а) цилиндрические координаты:
grad,*®== J^, gra grads «> = Jj-;
dlva - 1 і 1 ая. і йя«.
гоі,.- a
1 дае дае *~дє~ dz
г
да , да rotca = -^ gp-,
_ і d(r%e) і rot2a=-^ ^ гШ дг
dt
T7Sr I aV ^ ,1^ 4-*? r* Й/-* de2 dz^'
б) сферические координаты:
, grade ф = 1 d(rs«,.) і 1 і 1 d («г, sin 6)
• d-o . Id® . 1 dtp
gradr ® = ^ > giad.® = .^^, gradb<p = 7gl
diva:
r2 Qf I rsin Є бе ' r sin 6 66 1 d (a, sin 6) 1 дац
roL a:
r sin Є 66 r sin Є дг
rnt я - - 1 d (rgQ) 1 даг 6 г дг г д 6
rotf, а
1 даг__1 д (raj
" r sin б де г дг
• г2 дг ' г2 sin2 6 де2 л2 sin 6 дб
Выведенные формулы представляют необходимый справочный материал для дальнейшего.
§ 61. Потенциал скоростей, Поле источника и диполя. Непрерывное распределение источников и диполей. Ньютонов потенциал.
Потенциал простого и двойного слоев
На основании общих соображений, приведенных в гл. V, задачу о внешнем обтекании тела потоком с однородным полем скоростей в бесконечном удалении от тела можно значительно упростить, сделав наперед предположение о безвихревом характере движения. В этом предположении во всей области движения имеем
TOtV=O ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР.
393
и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал ©, именуемый потенциалом скоростей и связанный с вектором скорости равенством:
V = grad©. (13)
Предполагая еще, что жидкость несжимаема, будем иметь условие
div V = 0, (14)
что вместе с (13) приводит к равенству
div grad ® = V2® = 0, (15)
представляющему известное уравнение Лапласа.
Итак, искомый потенциал скоростей <р является решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим определенным граничным условиям. Рассмотрим задачу о внешнем обтекании некоторого твердого тела с поверхностью о и ортом внешней нормали п однородным на бесконечности потоком с заданной скоростью Vco- Тогда граничными условиями будут:
