Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
/ \ 1 CCC q(a,b,c)dadb dc 1Л
<р(х, у, г) =----ч\ > і /jg ч
W
Если область течения жидкости безгранична, то функция ср при удалении точки M в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим через R среднее расстояние точки M от частиц конечного объема т; тогда при достаточном удалении точки M можно сказать, что потенциал скоростей <о будет стремиться к нулю, как -L- при R —> оо, или ' Ix
еще иначе, что функция © обращается в нуль первого порядка на бесконечности:
0
G)-
Полученный потенциал скоростей представляет общее выражение ньютонова потенциала. Если под q понимать плотность распределения массы в объеме т, то выражение (19) даст потенциал сил тяготения единичной массы в точке M к неоднородной массе, заключенной в объеме т; если под q понимать плотность распределения электрических зарядов, то ср будет потенциалом электростатического поля. Это же выражение играет роль потенциала скоростей непрерывно распределенных в объеме т источников в рассматриваемом нами гидродинамическом случае. Широкие связи, существующие между, казалось бы, столь различными физическими областями, как гидродинамика, тяготение, электричество и др., позволяют использовать эти „аналогии" § 61] ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, диполя и Дк 397
для практического изучения процессов на тех объектах, которые позволяют проще и точнее изучать явления. 1
Вспоминая определение величины дивергенции вектора скорости как отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно распределенных источников (§ 11), можем, очевидно, в любой точке объема і написать:
div V = q
или, заменяя V = grad <р, div V =
V2® = q. (20)
Отсюда вытекает, что функция ©, определенная формулой (19) в некоторой безграничной области, заключающей в себе заполненный источниками конечный объем т, является решением уравнения Пуассона (20) внутри объема; в остальной области, где q = 0, функция <р представляет решение уравнения Лапласа
V2W==O,
причем это решение таково, что обращается на бесконечности в нуль первого порядка.
В теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (19) представляет единственное конечное, непрерывное, однозначное, с такой же первой производной по координатам решение уравнения Пуассона (20), обращающееся в бесконечности в нуль первого порядка.
Наряду с объемным распределением источников, в гидродинамике, так же как и в других отделах физики, рассматривают еще поверхностные и линейные распределения источников. Сохраняя для поверхностной и линейной плотности распределения мощности источников то же обозначение q, будем иметь соответствующие потенциалы скоростей в виде поверхностного и линейного интегралов:
ф:
J4-.
1 Г qds 4г. J
ъ
(21)
Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей непрерывного распределения источников по некоторой поверхности о, дает гидродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения и электростатического притяжения потенциала простого слоя. Потенциал простого слоя так же, как и ньютонов потенциал объемного распределения (19), является решением уравнения Лапласа, причем, как Доказывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен
1 Вспомнить, например, метод ЭГДА (конец гл. V). 397
ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [і Л. Vii
и непрерывен во всей области, включая и поверхность а.1 Производная от потенциала простого слоя по направлению нормали к поверхности с претерпевает при переходе текущей точки M через поверхность о разрыв непрерывности — конечный скачок.
Подобно тому, как только что рассматривались потенциалы скоростей непрерывных распределений источников, можно ввести аналогичные понятия и для непрерывного распределения диполей. Остановимся
на одном, наиболее интересном распределении диполей, образую-п щем так называемый двойной
слой. Возьмем некоторую поверх-
_^JH ность о и покроем ее непрерывно
т распределенными диполями так,
чтобы моменты их (или оси) совпали по направлению с внешними нормалями п к поверхности о. Обозначив плотность распределе-Рис. 136. ния диполей через от, получим
вектор элементарного момента диполя, приходящегося на элементарную площадку da с ортом внешней нормали п, в виде от dcn, а элементарный потенциал скоростей d<o, согласно (18) или (18'), будет равен
, 1 Im cos Є ,
df= — -г-ОТд— — da = — --.— da,
4л дп \г J 4кг8 '
где Ь (рис. 136) — угол между внешней нормалью к поверхности о и
вектором-радиусом г = AM текущей точки M относительно точки А, взятой на поверхности.
Полный потенциал скоростей от всей покрытой диполями поверхности с:
1T д ( 1 \ j 1 /* m cos б . /ofn
cP = - й J m бїї (т) = - 4Ї J -75- *» (22)
a a
служит гидродинамической аналогией известного в теории электричества и магнетизма потенциала двойного слоя. Если потенциал простого слоя представляет, например, электростатический потенциал заряженной поверхности, то потенциал двойного слоя дает магнитный потенциал намагниченной поверхности (магнитного листка).
Упомянем, что потенциал двойного слоя (22) также является решением уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал
