Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
26 Зак. 1841. л Г. Лойцянскнй. 402
пространственноь безвихревое движениЕ
[і Л.
vii
второй путь приводит к установлению формулы потенциала поля скоростей, индуцированного замкнутой вихревой нитью.
В полной аналогии с приведенным в § 13 гл. I выводом формулы Стокса для циркуляции вектора по замкнутому контуру
J* а • dr = j rot„ a do
рассмотрим теперь, вместо циркуляции вектора, представляющей криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора иа элемент контура, подобный же интеграл, но от векторного произведения
J
а X dr.
Построив элементарный цилиндр с образующими, параллельными орту нормали п к поверхности а, и с направляющей L', ограничивающей элементарную площадку da, сможем написать:
а X dr':
L'
Рис. 139.
If h .1
а X (n X n') da',
где а'— полная поверхность цилиндра, состоящая из боковой поверхности и двух оснований do, a dr' и da' обозначают, соответственно, элементы контура L' и поверхности а' элементарного цилиндра (на рис. 139 da' представлено заштрихованной полоской). Применив формулу тройного векторного произведения, получим:
J a Xdr' J пап, da' — і J n' ап da' = n. — div а —
І/ а' о'
— grad {ап~) = n div a da — grad (ап da).
Суммируя обе части последнего равенства по всем элементарным контурам L' слева и по всем элементарным площадкам da справа, получим:
J а X dr = J п div a da — grad ^ J ап da). (31)
Полагая в этой формуле
будем иметь, вместо (28):
= grad (у),
Г
4п
J-(I)
dc -
4тс
grad
J дп (г)
da. § 631 функция тока, векторный нотейциал 4оЗ
Но, как уже ранее упоминалось, функция представляет простейший случай ньютонова потенциала, удовлетворяющего уравнению
V2(I) = O
(в чем легко убедиться и непосредственным дифференцированием), так что окончательно найдем:
V = -AgradJJr(I)rf. (32)
а
Сравнивая эту формулу скорости с определением потенциала скоростей <р (13), видим,, что искомый потенциал скоростей равен
а припоминая выражение потенциала двойного слоя (22), заключаем, что потенциал скоростей замкнутой вихревой нити L с циркуляцией Г совпадает с потенциалом двойного слоя диполей, расположенных по поверхности о, опирающейся на контур L, и имеющих одинаковую по всей поверхности плотность распределения момента, равную циркуляции вихревой нити; совпадают при этом, конечно, и поля скоростей.
Доказанная только что гидродинамическая теорема представляет аналог известной теоремы электродинамики об эквивалентности кругового электрического тока полю магнитного листка.
Прежде чем перейти к другим примерам пространственных течений, введем в рассмотрение функцию тока.
§ 63. Функция тока и ее связь с векторным потенциалом скоростей. Функции тока простейших течений
Согласно (10) § 60 уравнение несжимаемости жидкости будет иметь вид
(Вд ^l)+(ВД Ць)+~ (H1H2 Vb) = 0.
Предположим, что одна из составляющих скоростей движения, например Vg3, повсюду равна нулю; тогда предыдущее уравнение сведется к более простому:
"4т WW WW =
В этом случае можно утверждать существование такой величины что будет выполняться система равенств:
дъ
ад V4=-Jt,
(34)
26* 404
ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [і Л. Vii
или:
V
К
г__L_ii
«• — H2Hi Oq2' 1 дф
(34')
Такого рода величина ty, через которую могут быть выражены две неизвестные проекции скорости на оси криволинейных координат, называется функцией тока.
Потенциал скоростей <р связан с функцией тока, если она существует, следующими соотношениями:
которые легко получить, приравняв проекции скорости Vq и Vq , выраженные через согласно (13) и (9), и через Ф, согласно (34').
Простейшим примером существования функции тока служит плоское движение несжимаемой жидкости.
Рассмотрим осесимметричное относительно оси Oz движение несжимаемой жидкости, протекающее в меридиональных плоскостях, проходящих через ось Oz. При таком движении существуют все три декартовы проекции скорости и, v и w и все они зависят от трех координат х, у, z, так что из уравнения несжимаемости
не следует существования функции тока. Между тем, если условиться исследовать указанное осесимметричное движение в цилиндрической или сферической системе координат, то, написав, согласно формулам, помещенным в конце § 60, уравнения несжимаемости в одном из следующих видов:
и заметив, что, в силу сделанного предположения о меридиональное™ движения, члены с Ve пропадут, будем иметь следующие выражения проекций скорости через функцию тока: а) в цилиндрической системе координат:
1 dy 1 дф
Hi dqi = дЧъ '
_1__ду ^ 1 #
Щ Hi HsH1 д<?і'
(35)
ди , dv , dw .
0.
д (/"8Vrr sin 8) . д(гУ?) , д Q-F9Shi 6) дг "+"" де "Ч" дв
= 0 § 63] функция тока. векторный потенциал 405
б) в сферической системе координат:
/¦»Vstae = ii V=1B.
TVrSino de, vr — s.n 0 д6 ,
rVesin6 = -|i, Ve=--Uit.
0 дг' " г sin в дг
(37)
Введенная уравнениями (34) или (34') функция тока обладает свойствами, аналогичными функции тока в плоском движении.
