Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 142

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 231 >> Следующая


— ( дЧг\

Hi д<(\ , д /H1 дч>\ п H1 dqj ~Г dq2 V#2 dqj

Наличие в уравнении (47) существенного множителя г* (qu q2) под знаком производных создает значительную разницу между уравнением осесимметричного движения (47) и только что написанным уравнением плоского движения в тех же координатах.

Выбирая, например, в меридиональных плоскостях в качестве криволинейных координат обычные прямоугольные координаты (/•*, z), будем иметь: Hr- = 1, Hs=I и, следовательно, уравнение движения приведется к простому виду:

М'"Ш+Н"дё)=°- «ч

соответствующему уравнению Лапласа в цилиндрических координатах при отсутствии зависимости движения от е.

Интегрирование этого уравнения проводится обычными приемами анализа. Можно, например, составить такой, хорошо известный интеграл уравнения (48):

Tt

<р (г \ г) = L I V0 (ir* cos 6 - f z) db, (49)

о

где Ф0(/)—-аналитическая во всей области течения (г*, z) функция. Действительно, если <р0 — аналитическая функция, то она сама удовлетворяет уравнению Лапласа (48). Имеем, рассматривая 6 как параметр и применяя штрих для обозначения дифференцирования по всему аргументу:

^ = OiCOS 6 ^=- О" COS2 6 = 0r* то1 ^us и> <0 dz2 - то»

И, подставляя в (48),

г*<рд sin2 6 -j- г'срд cos 6 = 0.

Вычисляя теперь аналогичные производные от функции <р, представленной интегралом (49), найдем в силу предыдущего равенства:

±.(r* ^i-W ±(г* ^ - гІ? -I-r*^-

dr* У дг*) тйД дг)~~ dr** ^ dr*' dzа

К

= Lij (r*<?l sin2 0 -f W0 cos b)db = 0. 416 пространственноь безвихревое движение [і л. vii

Функция ср0 (і) имеет в нашем случае простой физический смысл. Составим выражение составляющей скорости, параллельной оси течения:

R

К Г, г) = -?- = IJ ^ (/г* cos 6 + г) db о

и определим ее на оси потока (г* = 0). Тогда будем иметь:

п

K0= TT J %(z)dH = y0(z).

о

Таким образом, первая производная от ср0 (г) представляет собою не что иное как распределение скорости Vs вдоль оси симметрии течения. Задаваясь видом функции

найдем по (49) распределение скоростей течения:



Vr =sW = T JVo ('>* cos H + г) cos в d% о

а при желании и функцию тока:

(50)



Л 71 «

J г* dz = '-^- j cos Є rfb j /0 (гг* cos 6-] г) dz. (51)

Нулевой линией тока ф4 = 0 служит ось течения г* = 0.

Простейший пример такого осесимметричного течения получим, если положим

Va=Uiz) = -г>

т. е. потребуем, чтобы жидкость имела бесконечную скорость на отрицательной бесконечности (г = — оо) и нулевую скорость в начале координат (Z = 0), причем зададим линейный закон уменьшения скорости. В этом случае легко найдем:

л

Ve= - ± J (/г* cos 6 + z) rf6 = -z,

о

п it

I= —i-J ir*cos2OrfO-J cosOdb = l

г*

2 Г ' § 65 J o від и e уравнения осесгїмметрйчного движения 417

Поверхности і ока имеют уравнением

/-^ = Const;

общее Их расположение показано на рис. 144, Картина течения соответствует растеканию приходящей из бесконечности с бесконечной скоростью жидкости, встречающей препятствие в виде безграничной

плоскости, перпендикулярной направлению потока на бесконечности. Поверхности тока, очевидно, асимптотически сходятся к оси Oz При Z —>-OO и к плоскости хОу при Z -> 0.

Вычисление интегралов (49), (50) и (51) может представить иногда сложность, которую можно обойти, если, воспользовавшись аналитичностью функций ср0 и /о, разложить их в ряды:

<Ро (ir* cos 6 + 2) = 90 (z) + cos 6 • tPo (г) + /0 (і r cos 6 -[ z) = f0 (г) + ir' cos 6 • f'0 (z) -f ...

Подставим эти разложения в рассматриваемые формулы и, замечая, что

IJc OS^Ne = JI5,

о

к

J cos2"-1 в = О, о

27 За*. 1841. Л Г. Лойиянскнй. 418

НРОСТРАНСТВЕННОЁ ВЕЗВИІРЕВбЕ ДВИЖЕНЙЕ

[гл. Vh

получим:

W = O

со

_ V (-Dn'2" Ґ,2П~ 1 АЯП-Ц -

vMr*' *)¦= S^n-lKn-"w.



»=0



Пользуясь этими формулами, можно строить различные формы конфузоров, диффузоров и других каналов. Так, например, положим:1

(52)

/о (г) = 0,55 + 0,90j® (г) dz,

?(2)=-4=

4 г*

что дает плавное изменение скорости Ve вдоль оси Oz, показанное на графике (рис. 145). Последовательные производные функции /о (г)

определяются очевидным ра-j q______ венством:

/1и+1)(2) = 0,90Ф<и>(г),

причем

1 й»

Ф(«) (г) =

V2г. dzn

(е **).

Вспоминая определение полиномов Эрмита Яи:2

Рис. 145.

Hn(z) = і

= (- i)V

dz»





будем иметь такое выражение для последовательных производных заданной функции /о (г):

ffr+1) (z) = 0,90 • (-1)" Ф (z) Hn (z) = 0,90 • tzDH *Hn(z).

У 2it

1 Hsue-Shen T s і е n, On the Design of the Contraction Cone for a Wind Tunnel. Journ. Aeron. Sc. Vol. 10, № 2, 1943; pp. 68—70.

г См. Янке и Эмде, Таблицы функций. Гостехиздат, 1948, стр. 122, § 66]

продольное овтеКанйе тел вращений

419

На рис. 146 приводятся линии тока и распределение продольных скоростей, соответствующие рассматриваемому осесимметричному потоку.

Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими цифрами со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей. Принимая линию тока за твердую стенку, получим профиль і р конфузора, причем эпюры покажут, насколько однородно "поле скоростей в различных сечениях конфузора. Так, например, видно, что профиль конфузора, показанный на рис. 146 штриховкой, имеет достаточно хорошую форму: некоторое повышение скорости к стеи-кам конфузора не вредит делу, так как подтормажи-вание жидкости из-за вязкости вблизи стенок должно выправить поле. Рассчитанный конфузор, как видно из рис. 145 и 146, удваивает скорость движения. Изложенный только что метод может с успехом применяться для расчета конфузоров аэродинамических труб, сопел и других каналов, если скорости в них значительно меньше скорости звука.
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed