Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
— ( дЧг\
Hi д<(\ , д /H1 дч>\ п H1 dqj ~Г dq2 V#2 dqj
Наличие в уравнении (47) существенного множителя г* (qu q2) под знаком производных создает значительную разницу между уравнением осесимметричного движения (47) и только что написанным уравнением плоского движения в тех же координатах.
Выбирая, например, в меридиональных плоскостях в качестве криволинейных координат обычные прямоугольные координаты (/•*, z), будем иметь: Hr- = 1, Hs=I и, следовательно, уравнение движения приведется к простому виду:
М'"Ш+Н"дё)=°- «ч
соответствующему уравнению Лапласа в цилиндрических координатах при отсутствии зависимости движения от е.
Интегрирование этого уравнения проводится обычными приемами анализа. Можно, например, составить такой, хорошо известный интеграл уравнения (48):
Tt
<р (г \ г) = L I V0 (ir* cos 6 - f z) db, (49)
о
где Ф0(/)—-аналитическая во всей области течения (г*, z) функция. Действительно, если <р0 — аналитическая функция, то она сама удовлетворяет уравнению Лапласа (48). Имеем, рассматривая 6 как параметр и применяя штрих для обозначения дифференцирования по всему аргументу:
^ = OiCOS 6 ^=- О" COS2 6 = 0r* то1 ^us и> <0 dz2 - то»
И, подставляя в (48),
г*<рд sin2 6 -j- г'срд cos 6 = 0.
Вычисляя теперь аналогичные производные от функции <р, представленной интегралом (49), найдем в силу предыдущего равенства:
±.(r* ^i-W ±(г* ^ - гІ? -I-r*^-
dr* У дг*) тйД дг)~~ dr** ^ dr*' dzа
К
= Lij (r*<?l sin2 0 -f W0 cos b)db = 0.416 пространственноь безвихревое движение [і л. vii
Функция ср0 (і) имеет в нашем случае простой физический смысл. Составим выражение составляющей скорости, параллельной оси течения:
R
К Г, г) = -?- = IJ ^ (/г* cos 6 + г) db о
и определим ее на оси потока (г* = 0). Тогда будем иметь:
п
K0= TT J %(z)dH = y0(z).
о
Таким образом, первая производная от ср0 (г) представляет собою не что иное как распределение скорости Vs вдоль оси симметрии течения. Задаваясь видом функции
найдем по (49) распределение скоростей течения:
Vr =sW = T JVo ('>* cos H + г) cos в d% о
а при желании и функцию тока:
(50)
Л 71 «
J г* dz = '-^- j cos Є rfb j /0 (гг* cos 6-] г) dz. (51)
Нулевой линией тока ф4 = 0 служит ось течения г* = 0.
Простейший пример такого осесимметричного течения получим, если положим
Va=Uiz) = -г>
т. е. потребуем, чтобы жидкость имела бесконечную скорость на отрицательной бесконечности (г = — оо) и нулевую скорость в начале координат (Z = 0), причем зададим линейный закон уменьшения скорости. В этом случае легко найдем:
л
Ve= - ± J (/г* cos 6 + z) rf6 = -z,
о
п it
I= —i-J ir*cos2OrfO-J cosOdb = l
г*
2 Г '§ 65 J o від и e уравнения осесгїмметрйчного движения 417
Поверхности і ока имеют уравнением
/-^ = Const;
общее Их расположение показано на рис. 144, Картина течения соответствует растеканию приходящей из бесконечности с бесконечной скоростью жидкости, встречающей препятствие в виде безграничной
плоскости, перпендикулярной направлению потока на бесконечности. Поверхности тока, очевидно, асимптотически сходятся к оси Oz При Z —>-OO и к плоскости хОу при Z -> 0.
Вычисление интегралов (49), (50) и (51) может представить иногда сложность, которую можно обойти, если, воспользовавшись аналитичностью функций ср0 и /о, разложить их в ряды:
<Ро (ir* cos 6 + 2) = 90 (z) + cos 6 • tPo (г) + /0 (і r cos 6 -[ z) = f0 (г) + ir' cos 6 • f'0 (z) -f ...
Подставим эти разложения в рассматриваемые формулы и, замечая, что
IJc OS^Ne = JI5,
о
к
J cos2"-1 в = О, о
27 За*. 1841. Л Г. Лойиянскнй.418
НРОСТРАНСТВЕННОЁ ВЕЗВИІРЕВбЕ ДВИЖЕНЙЕ
[гл. Vh
получим:
W = O
со
_ V (-Dn'2" Ґ,2П~ 1 АЯП-Ц -
vMr*' *)¦= S^n-lKn-"w.
»=0
Пользуясь этими формулами, можно строить различные формы конфузоров, диффузоров и других каналов. Так, например, положим:1
(52)
/о (г) = 0,55 + 0,90j® (г) dz,
?(2)=-4=
4 г*
что дает плавное изменение скорости Ve вдоль оси Oz, показанное на графике (рис. 145). Последовательные производные функции /о (г)
определяются очевидным ра-j q______ венством:
/1и+1)(2) = 0,90Ф<и>(г),
причем
1 й»
Ф(«) (г) =
V2г. dzn
(е **).
Вспоминая определение полиномов Эрмита Яи:2
Рис. 145.
Hn(z) = і
= (- i)V
dz»
будем иметь такое выражение для последовательных производных заданной функции /о (г):
ffr+1) (z) = 0,90 • (-1)" Ф (z) Hn (z) = 0,90 • tzDH *Hn(z).
У 2it
1 Hsue-Shen T s і е n, On the Design of the Contraction Cone for a Wind Tunnel. Journ. Aeron. Sc. Vol. 10, № 2, 1943; pp. 68—70.
г См. Янке и Эмде, Таблицы функций. Гостехиздат, 1948, стр. 122,§ 66]
продольное овтеКанйе тел вращений
419
На рис. 146 приводятся линии тока и распределение продольных скоростей, соответствующие рассматриваемому осесимметричному потоку.
Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими цифрами со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей. Принимая линию тока за твердую стенку, получим профиль і р конфузора, причем эпюры покажут, насколько однородно "поле скоростей в различных сечениях конфузора. Так, например, видно, что профиль конфузора, показанный на рис. 146 штриховкой, имеет достаточно хорошую форму: некоторое повышение скорости к стеи-кам конфузора не вредит делу, так как подтормажи-вание жидкости из-за вязкости вблизи стенок должно выправить поле. Рассчитанный конфузор, как видно из рис. 145 и 146, удваивает скорость движения. Изложенный только что метод может с успехом применяться для расчета конфузоров аэродинамических труб, сопел и других каналов, если скорости в них значительно меньше скорости звука.