Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала:
•^мо = = ^ns = • • • = 0,
BnO — Вт = Впч — • • • = 0,
j^nl = cVooCb,
т. е. довольствуясь решением, содержащим cos s, и, кроме того, представляя х по формулам, помещенным в начале предыдущего параграфа, как функцию X, (л и є:
х = г* cos е = с sh ? sin Yj cos е = cj/X.8 — 1 ^rI — ^2 cos е,
получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью Vco вдоль оси Ox потока:
со
т = С Voo cos E S CnQ1n (X) Pl (р.) + с Voo 1/Х2- 1 Vl — J1« cos е,
B = I
или, используя определение присоединенных функций Лежандра (60),
OO
4 = CVmVr^lVT=PQcJ^tZz-{- l)coss. (61)
B=I
Для определения постоянных Cn, как и ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае не осесимметричного движения функция тока отсутствует и
приходится непосредственно вычислять нормальную скорость Vn = ^jJ-
и приравнивать ее нулю.
Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе координат (X, fi) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридионального сечения параллелен составляющей скорости в меридиональной плоскости (условие скольжения жидкости на поверхности тела) 428 пространственноь безвихревое движение [і л. vii
или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий,
H rll -JLa* — H da.' J- —
"х ah .JJ-^k-^av.. Отсюда вытекает искомое граничное условие
„лдір rrsdtp dl ,
dp' ^62)
в котором А. является заданной функцией согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные
производные щ-, от выражения (61), будем иметь:
1 dv
cVco cos E ді
C Voo cos Є
VJa-Uc.^+1)+
OO »=ї
_ со
дл = _ ні/Г? с 1)4-
др ^v 1-^4^ п di dp ^r J^
п=1
со
+ Уогаж=-^) 2
п
dy*"'
Заменив входящие сюда выражения вторых производных на основании дифференциальных уравнений функций Pn и Qn:
получим после простых приведений
_ со
і ау_ , іЛЕЕЇ! Y г dQndPn і
cVоо COS е дК ~~ V X2 — 1 п dh dp-Г"
п—1
1
Ё± лГ\^=AYг dQn*?n
с Voa COS 6 ди. = flF I-I1I^S л dp
,/rK2-IV / ^ndQnn і
к « (« -Г 1) Cn-^-Pn-V у j
16?)
ЙОЙЕ^ЁЧЙОЁ OfefEKAHriE ТЕЛ ВРАЩЕНИЙ
429
Подставляя эти выражения производных в (62) и используя ранее выведенные значения коэффициентов Ляме (53'):
НІ-
,)2
Х2 _ Г ' hV- — ^2 1
Х2-
.,2 J
получим после очевидных сокращений .
«=1
= A^fl
ей. till.'
Имея в виду, что а представляет заданную функцию от и, перепишем граничное условие в окончательной форме так:
со
»—1
d (Х[х) dQ,n dPn
d\>. dk el\i
= (63)
Рассмотрим поперечное обтекание эллипсоида вращения X = X0, продольное осесимметричное обтекание которого было рассмотрено в предыдущем параграфе.
В этом случае граничное условие (63) можно выполнить, положив Cn = 0 при я> 1; тогда будем иметь (P1 = Jji):
)анее п C1=-
откуда, согласно ранее приведенному выражению Q1 (X), следует:
Xn_
1 Mn^
(64)
Напомним, что здесь Xn
X® — і "5" 0 Х^^Т
1
где е -
эксцентриситет эллипса,
представляющего меридиональное сечение эллипсоида. Потенциал скоростей рассматриваемого поперечного обтекания эллипсоида вращения равен по (61):
9 — с VtxV X2 — 1 Kl — ^2COs е
, /1 . Х + 1 . X \ Л2 Й^РГ')
4-і
1, 1
— X0 In-
2 Xn-I
4-і
, (65)
Скорости определятся простым дифференцированием (65):
1 Ягг> I /im 1 436
пространственное ьезвихрейоё двшкенйе
{гл. ViI
Решение задачи о продольном и поперечном обтекании тела вращения приводит, как это видно из содержания настоящего и предыдущего параграфов, к необходимости проведения в каждом отдельном случае трудоемких вычислений.
Эти вычисления могут быть значительно облегчены, если рассматриваемое тело имеет значительное удлинение.
§ 68. Продольное и поперечное обтекание тел вращения большого удлинения. Приближенные выражения граничных условий.
Применение тригонометрических сумм для определения коэффициентов An и Cn
В большинстве практических приложений приходится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т. е. отношение длины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8—12). Так же как и в теории крылового профиля, это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальной жидкостью.
Расчет обтекания тел вращения большого удлинения может быть произведен приближенным методом, значительно более простым, чем изложенный в предыдущих параграфах. Изложим вкратце основную идею этого приближенного метода, принадлежащего Я. М. Серебрийскому.1 Как уже было упомянуто ранее, основным затруднением в решении задачи является определение коэффициентов An при продольном и Cn—при поперечном обтеканиях тела. Чем проще будет связь между X и Jju, определяющая форму контура в меридиональной плоскости, тем меньше коэффициентов An, Cn можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством л — const, т. е. разобранным ранее случаем обтекания эллипсоида. Отсюда следует вывод: чем ближе по форме исследуемое тело к эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим прежде всего вопрос о выборе положения начала координат на продольной оси тела. Совершенно так же, как при решении плоской задачи об обтекании крылового профиля произвольной формы (§ 48 гл. V), заметим, что фокусы удлиненного эллипсоида вращения находятся посредине отрезка, соединяющего точки пересечения наибольшей оси с поверхностью эллипсоида и центры кривизны поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства X=Const.
