Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В новых обозначениях выражение потенциала скоростей (79) будет:
(89)
ї=І
Воспользуемся теперь выполняющейся в любой момент времени на поверхности тела о системой равенств (80), тогда в новых обозначениях вместо (86) и (87) будем иметь:
Cd С 6 6
Bi=-Pj Cf-^do = -P J -^da = ^kikgk
a a ft= 1 fc=l
(/=1,2,...,6), (90)
где введено обозначение:
:::;:> (91)
Величины Xjk, вычисленные в связанной с твердым телом координатной системе, представляют некоторые постоянные, зависящие лишь от формы поверхности тела, так как по ранее доказанному от времени не зависят.
Являясь коэффициентами в выражении „присоединенных" количества и момента количеств движения через обобщенные скорости qk, величины Xu играют роль инерционных коэффициентов, „присоединяющихся" к инерционным коэффициентам, входящим в аналогичные выражения количества движения и момента количества движения самого твердого тела.
Так, например, проекция количества движения твердого тела, массу которого обозначим через тна ось Ox будет равна:
Kl= J Vx dm* = I* (и0 + —dm* =
т* т*
= m*u0 -J- J z dm* —шг J у dm* =
т* т*
= m*u0 -J- тn*ze<ay — m*ycws,
где ус и Ze — координаты центра тяжести тела; отсюда в новых Обозначениях следует:
Кг = т\ + m\q6 — m*ycqr § 71J коэффициенты „присоединенных масс" 443
Проекция на ось Ox суммы количества движения К* и „присоединенного" количества движения будет равна:
Kl+Bi = (/п-\- X11) <7j -J- X12^2 + Ajgtfa -}- Хі4<74 -J-
4- (т*ге 4- Х!5)^b -J- (— т*ус + X16) q6.
Как видно из структуры этого выражения, инерционные коэффициенты Xffc „присоединяются" к инерционным коэффициентам в выражении проекции количества движения твердого тела: X11—к массе, X16 и Xte — к статическим моментам масс; остальные коэффициенты в общем случае дополняют члены, отсутствующие в выражении проекции главного вектора количества движения твердого тела. Вот почему инерционные коэффициенты Xik обычно называют коэффициентами присоединенных масс.
Тридцать шесть коэффициентов „присоединенных масс"
/1=1,..., 6\ Ча-1,..., *)
обладают свойством симметрии, т. е. не зависят от порядка индексов. Чтобы это доказать, составим применительно к рассматриваемому объему т следующее известное соотношение:
J <?fV2?fc dx = J Ci div (grad <pfc) dx =
V T
= J div (? grad <?й) dx — J grad <?,• - grad % dx,
t "Z
и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком индексов; тогда получим общую формулу:
J СFiV^fc-=
і
= J div (?grad <pft) dx — J div (oftgrad %) dx.
T *c
Замечая, что в силу гармоничности функций и % интеграл слева обращается в нуль, и примёняя в правой части формулу Остроградского, приходим к равенству:
а °а
Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа, при удалении поверхности сферы о^ на бесконечность, стремится к нулю 444 пространственноь безвихревое движение [і л. vii
(Vf имеет порядок J-, — порядок J-); тогда будем иметь: V Г0 дп T0 /
/*!?*-/*?-* о о
или, по определению коэффициентов „присоединенных масс",
^ifc= ї"кі>
что и доказывает свойство симметрии этих величин. Таким образом, из тридцати шести коэффициентов, имеющих место в общем случае движения твердого тела, различных оказывается лишь двадцать один.
Присоединенные массы X4fc входят коэффициентами в выражение квадратичной зависимости кинетической энергии T возмущенного движения жидкости от скоростей движения твердого тела.
Подсчитывая кинетическую энергию жидкости как объемный интеграл:
7"=|-J V^dx==Y ( grad <р • grad <odt =
x x
J div grad 9) dt — j" isV2® dz ==
* 1
JL 2
0>
и вновь замечая, что при удалении поверхности с0 на бесконечность второй интеграл обратится в нуль, получим аналог известной уже нам по § 36 гл. V формулы (21) на случай внешнего обтекания тела:
Й-*-- <92>
h
Подставим сюда разложение потенциала скоростей ф по потенциалам составных движений ^i; тогда, перемножая суммы, найдем искомое выражение кинетической энергии возмущенного движения жидкости через скорости тела и „присоединенные массы":
е в
Г=т2 S 1ікЯіЯк- (93)
i=ifc=i
Сравнивая это выражение с (90), получим связь между „приссединенной" кинетической энергией возмущенного движения T и „присоединенным" количеством движения: § 71J КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС"
445
Если написать в развернутом виде выражение кинетической энергии самого движущегося твердого тела:
f = y J V2 dm = -і- [т (и0 -J- -4++ 2/пхс (??—W0(Oy) -J-
т*
4- 2т*уе (W0O)a,—и0шг) -f- 2m*zc —+
4~ 4«& 4- Jv<4 + — — ZJzx^-x — 2JmymaPy\>
то легко убедиться, что при „присоединении* кинетической энергии возмущенной телом жидкости T к энергии самого движущегося тела Т* коэффициенты Xik так же, как и в случае векторов количеств и моментов количеств движения, „присоединятся* к соответствующим инерционным коэффициентам в выражении T*: массе, статическим моментам, моментам инерции и центробежным моментам. Это еще раз поясняет смысл коэффициентов кгЬ и происхождение их названия „присоединенных масс". Конечно, термин „масса" здесь следует понимать в обобщенном смысле как величину, характеризующую инерционность вообще.
