Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим еще в заключение, что для тел с очень большим удлинением можно определить q (z) и т (г) из следующих двух простейших предположений:
1) в случае продольного обтекания считать нормальную к поверхности тела составляющую скорости возмущения Vrn равной скорости плоского движения от источника, расположенного в ближайшей точке оси. Тогда условие непроницаемости поверхности даст:
dr* dz »
откуда
* ?^)=?!^?, (76)
причем г* (г) представляет заданное уравнение контура меридионального сечения;
2) в случае поперечного обтекания тела вращения выберем т(г) из условия, чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями г м z + dz, обтекался так же, как элемент цилиндра бесконечного размаха в плоском движении. Это приведет к равенству:
m\z) = 2nVmr^(z), (77) § 70]
движение тела сквозь несжимаемую жидкость
437
§ 70. Обший случай движения твердого тела сквозь несжимаемую идеальную жидкость. Определение потенциала скоростей. Главный вектор и главный момент сил давления потока на тело
При рассмотрении внешнего обтекания твердого тела до сих пор всегда предполагалось, что или тело неподвижно, а набегающий на него поток однороден и стационарен, или же жидкость вдалеке от тела неподвижна, а тело движется сквозь нее поступательно и равномерно. Именно в этом предположении был доказан парадокс Далам-бера о равенстве нулю главного вектора сил давления жидкости на поверхность тела конечных размеров.
Обратимся теперь к рассмотрению общего случая неравномерного и непоступательного движения тела сквозь несжимаемую идеальную жидкость, предполагая, что центр тяжести тела (или как-нибудь иначе выбранный полюс) движется с данным ускорением, а само тело заданным образом вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс.
Основываясь на доказанной в самом начале гл. V теореме Лагранжа, можем считать движение жидкости вокруг тела безвихревым, что, вместе с условием несжимаемости, приводит, как и в случае равномерного поступательного движения, к равенству нулю лапласиана потенциала скоростей возмущения жидкости твердым телом:
Vа© = 0.
Рассмотрим граничные условия. В силу непроницаемости поверхности движущегося в жидкости тела, составляющая скорости движения частиц, соприкасающихся с поверхностью о движущегося тела, по нормали к о должна в любой момент времени совпадать с нормальной составляющей скорости соответствующей точки поверхности, так как в противном случае жидкость или проникала бы сквозь поверхность тела или отрывалась бы от нее. Обозначим через V0 скорость полюса твердого тела, а через w —угловую скорость тела. Тогда, по известной формуле кинематики твердого тела, скорость V любой точки тела, имеющей вектор-радиус относительно полюса г, будет равна:
V = V0 + w X г>
а граничное условие на поверхности тела напишется в виде:
й = ^l= ^оЛ-(WXr)w =
= UfZlx -f Vфу -J- w0ns + CBaj [упг — znv) -f
+ —хпг) + 0>г (хпу —упх). (78)
Здесь и0, v0, W0 и Cua., CB3,, <юг — проекции векторов V0 и ы на оси неподвижной системы координат Oxyz с началом О, в данный 438 пространственноь безвихревое движение [і л.
Vii
момент времени совпадающим с полюсом тела; пх, пу, п2—проек. ции орта внешней нормали к поверхности о, направленной внутрь обтекающей тело жидкости.
Кроме граничного условия (78), потенциал скоростей удовлетворяет еще условию обращения в нуль при удалении на бесконечность, ГДе жидкость покоится:
® -> 0 при г -> оо,
причем, как уже было показано ранее, стремление это имеет поря-ДОК 1'У® или более высокий порядок.
Следуя Кирхгоффу, 1 представим искомый потенциал как сумму
® = к0«1 + ®o?s + W-eS + w®®4 + tVPe + %®б. (79)
где функции CO4 предполагаются гармоническими, т. е. удовлетворяющими каждая в отдельности уравнению Лапласа, и стремящимися к нулю при удалении от тела; для выполнения граничного условия (78) функции Coi должны на поверхности тела о удовлетворять условиям:
d^ — „ Oll — и — и • I
дп ~~ х' дп ~ пУ' дп ~~ " І
Ж =уя,— zny, ^J = Znas-Xnz, = хпу —уп:г. J
(80)
Задача о составлении потенциала скоростей возмущенного движения 9 сводится, таким образом, к определению гармонических, убывающих в бесконечности до нуля функций cot, каждая из которых, кроме того, удовлетворяет своему граничному условию (80) на поверхности с. Функции 'S1 имеют простой физический смысл. Как это следует из (80), функции CB1, <р2 и CC3 в каждый данный момент времени представляют потенциалы скоростей того возмущенного движения жидкости, которое возникает при поступательном движении рассматриваемого тела с единичной скоростью, параллельной, соответственно, осям Ox, Oy или Oz; функции со4, со.-, и со6 аналогично представляют потенциалы возмущений от чисто вращательных движений тела также с единичными угловыми скоростями вокруг осей Ox, Oy и Oz.
Представим себе теперь связанную с твердым телом подвижную систему координат Oxyz, которая в данный момент времени мгновенно совпадает с неподвижной системой Oxyz. В этой подвижной системе величины Hsc, Пу, пе не будут зависеть от времени и, следовательно, потенциалы -B1, ®2, . , ®6 окажутся функциями только координат.
