Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Поясним изложенное несколькими примерами. Пусть круглый цилиндр радиуса а, окруженный идеальной несжимаемой жидкостью плотности р, совершает поступательное движение вдоль оси Ох, перпендикулярной оси цилиндра, со скоростью и0, являющейся заданной функцией времени t. В этом случае [вспомнить формулу (44) § 39 гл. V и выделить из нее потенциал <р возмущенного движения]:
<? = •— д. ч.(ио"j") = иоя2д- ч- (~) =—"о(0«2-JiTfJ2 =
= — "о С) «й = — U0 (t) а2 ~ ,
и коэффициент при U0 (t) будет играть роль „единичного потенциала* ®и равного
л»
% = cose.
Единственный коэффициент „присоединенной массы" будет равен по (91):
2л 2к
Хп = —р <?j * г* <fe = pa2 J cos2 s de = яра2 =/к, о о
где m—масса жидкости в объеме цилиндра, приходящемся на единицу его длины.
Давление жидкости на цилиндр будет определяться по формуле:
«Щг , d .. /л ^ duO 44t) ЇІРОСЇРАНСТВЕЙНОЙ І8ЕЗВЙХРЕВОЕ ДВИМІЕЙЙЕ [гЛ. Vll
В случае равномерного движения цилиндра эта сила пропадает, и имеет место парадокс Даламбера- при ускоренном движении цилиндра реакция жидкости существует, причем она тем больше, чем больше ускорение цилиндра.
Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра (т* — масса единицы длины цилиндра, F—внешняя сила, помимо реакции жидкости):
видим, что его можно еще переписать так:
Под действием приложенной силы F цилиндр будет двигаться в жидкости так же, как в пустоте, если только массу его увеличить на „присоединенную массу" жидкости в объеме цилиндра.
Столь же просто решается задача о прямолинейном движении шара. В этом случае, сохраняя те же обозначения, что и для цилиндра, имеем по (43) § 64:
a3 cos в ,., as cos 6
V=--^s-BoW. Vi = -T-— >
2tt tc
T Г J Г і Ui cos О N / ав 2 COS 6\ „ й 2 ч 1
xU = -Pj deJ {-Т~~Г~)\~2 "~w)asm Є db = 3~жРа -Tm'
о о
где m — масса жидкости в объеме шара.
Дифференциальное уравнение движения шара будет:
dt K-SC^ 1X- 2 dt ' w
или
Сравнивая это уравнение с уравнением прямолинейного движения шара под действием той же силы F в пустоте
приходим к заключению, что движение шара в жидкости можно рассматривать как происходящее в пустоте, если только к массе шара „присоединить" дополнительную массу, равную половине массы жидкости в объеме шара
Если масса жидкости в объеме движущегося тела мала по сравнению с массой самого движущегося тела (например, снаряд или самолет в воздухе), то „присоединенной массой" можно пренебрегать. В других § 71J коэффициентЫ „присоединЕнных масс" 446
случаях (дирижабль в воздухе, корабль или торпеда в воде и др.), наоборот, роль „присоединенных масс" оказывается первостепенной.
Имея в виду особенно большое прикладное значение понятия „присоединенной массы" для тел вращения (дирижабельные и торпедные формы), выведем общие формулы „присоединенных масс" для продольного относительно оси симметрии и поперечного по отношению к ней движения тела вращения.
В случае продольного движения вдоль оси Oz имеем:
Лзз
= Kz = -? f
d'fi ,
или, в силу граничного условия (80) на поверхности тела и очевидного равенства dc = 2w* ds:
Лзз:
= — P J* Vinz ^c = — J (pir*tis ds = — 2яр J* 9tr* dr*.
Используя (53), получим: +і
>в = -&рс» J 91 [(1-^2) -(Jl2-I)Jx]^.
Согласно (55), для потенциала возмущенного движения с единичной скоростью будем иметь:
со
?1 = с2 AnQnil) Pnfa),
п=0
так что для ,присоединенной массы" в продольном движении, или, короче, продольной присоединенной массы получим следующее общее выражение:
+ 1 со
X33 = -2«РсЗ j (Х*_ I) ц] % AnQn (X) Pn(P) J dp,
—I n=z О
где подразумевается, что координата X есть заданная функция р, согласно уравнению обвода меридионального сечения тела.
В случае эллипсоида вращения с большей осью а, направленной вдоль
осн Oz, имеющего уравнением обвода X = X0 = ~ (е — эксцентриситет), предыдущий интеграл легко вычисляется. По формулам § 66 получим:
1 х Xc+ 1 1 1_1п1+с
і 4 g..g 2 0 X0—1 4 .. 2е 1—е
N»=-3^0^n Xc Jlnh-Yi = T^ і і1пі +5-
Xg-I 2 nX0-I 1-е1 2е П1—е
где, напоминаем, а и b — большая и малая полуоси, е — эксцентриситет. Полагая в последней формуле е = 0 и раскрывая неопределенность, получим 448
пространственноь безвихревое движение [і л. vii
вновь ,присоединенную массу* шара:
(Xbs)i5=O=-T7^b
1+еа+ ... + +
2 ч = яр аК
е=о
Аналогичным путем определим и присоединенную массу тела вращения при поперечном его поступательном движении вдоль оси Ох, или поперечную присоединенную массу.
Сохраняя обозначения § 67, найдем:
Чі-
+» со
п=1
и в частном случае поперечного движения эллипсоида вращения:
1 I
>11 = j щаЬъ
е» 1+е 1еъ ІПГ=І
1
в»
при е — 0 последняя формула также переходит в „присоединенную массу" шара.
Другие примеры вычисления „присоединенных масс" можно найти в специальных книгах по динамике корабля или дирижабля, а также в общих курсах и монографиях по гидродинамике.1
Ограниченность объема настоящей книги не позволила остановиться на специальных вопросах теории плоского нестационарного движения крыла, созданной гением С. А. Чаплыгина и столь блестяще в дальнейшем развитой в работах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева й Л. И. Седова,2 а также на вопросах динамики плоского и пространственного движения твердого тела в тяжелой идеальной несжимаемой жидкости при наличии свободной поверхности. Последняя область особенно обязана своим расцветом глубоким исследованиям Н. Е. Кочина, 3 HL В. Келдыша и Jl И. Седова.4
