Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
к
J
COSnB7 Jtsinnl
і AU =
COS в' — cos в sin в
о
так что окончательно получим следующее выражение индуктивной скорости:
„,(в ) = -^"^?!, (106)
я=і
а по (101) — и угла скоса:
і основные формулы теории „несущей линии"
459
Определим подъемную силу. Имеем по второй из формул (102)
+1 * СИ
/^ = PV03J г (Z) dz = 4р Vili J ?дп Sin пЬ sin 6 dD =
—I 0 п—1
со *
= 4р V^0Z2 An j sin«e SinGde.
Я = 1 О
Но по известному свойству ортогональности синусов кратных дуг:
п і Y при п = I,
О при и > 1,
л /
sin «6 sin в db :
следовательно, в сумме, входящей в только что найденное выражение подъемной силы, сохранится лишь один член, что даст такое окончательное выражение для подъемной силы:
Ry-K ' (2')8' Af (108)
Замечательно, что величина подъемной силы зависит только от первого коэффициента A1 в разложении циркуляции (104); напомним, что аналогичным свойством обладало и выражение подъемной силы крыла бесконечного размаха, которое зависело только от первых двух членов разложения комплексной скорости в ряд по отрицательным степеням комплексной переменной (§ 44 гл. V).
Имея выражение подъемной силы (108), легко найти коэффициент подъемной силы крыла конечного размаха су, определяемый отношением:
_ Щ
^V 1 '
2PyI-S
где S — площадь крыла в плане. Подставляя сюда выражение (108), получим:
Cy = -RkAu (109)
где величина Я, представляющая отношение площади квадрата, построенного на размахе крыла, к площади крыла в плане
Х = (109')
называется удлинением крыла. В случае прямоугольного крыла удлинение имеет простой геометрический смысл отношения размаха к хорде:
* = (109") 460 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VIl
Индуктивное сопротивление Rx найдем, подставляя величину циркуляции (104) и индуктивной скорости (106) в первое из равенств (102). Будем иметь:
* OO OO
Я« = р-4. V200I2 J J] АП sin «Є 1^mAm ^L sine db =
О П— 1 « = 1
= PVL (20а тЛ„Лм j sin nb sin mbdb.
П, «і=1 О
Замечая, что по свойству ортогональности функций синуса
если п = т,
J sin«6sin/wGd6 :
о
получим:
pv;
2 '
О, если пф-т,
Rge = K-Y-Vlf ^nAi (110)
Я = 1
§ 74. Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением. Эллиптическое распределение циркуляции. Связь между коэффициентами индуктивного сопротивления и подъемной силы. Основное уравнение теории крыла и понятие о его интегрировании
Индуктивное сопротивление представляет существенно положительную величину, независимо от того, каковы будут значения коэффициентов An. Отсюда сразу вытекает важное следствие: индуктивное сопротивление крыла конечного размаха при отличной от нуля подъемной силе (A1 ф. 0) будет минимальным, если все коэффициенты в разложении циркуляции, кроме первого, равны нулю. Это, согласно равенству (104), соответствует распределению циркуляции:
Г = 4 VooMi sin 6 (A2 = As= ...=0), (111)
или, возвращаясь к переменной z по (104'):
Y = W00IA1^f 1 — (у)2. (ШО
Переписывая последнее равенство в виде
Г2 ¦ ?2 _
і ~г /2 iJ
(WJA1)* 1P § 74j крыло с минимальным индуктивным сопротивлением 461
убедимся, что эпюрой распределения циркуляции по размаху крыла (несущей линии) будет эллипс (рис. 154) с полуосями: по оси г равной полуразмаху крыла I, по оси Г—-максимальной по размаху циркуляции I10, причем коэффициент Ai можно выразить через эту максимальную циркуляцию I10:
4 Vcu IA1 = Г0, A1=J^1. (112)
v со'
Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим. По только что доказанному при эллиптическом распределении циркуляции индуктивное сопротивление минимально-, в связи с этим
Рис. 154.
крыло с эллиптическим распределением циркуляции играет центральную роль во всей теории крыла конечного размаха. Всякое другое крыло стараются конструировать так, чтобы распределение циркуляции на нем, по возможности, приближалось к эллиптическому. Рассмотрим ближе особые свойства крыла с эллиптической циркуляцией.
Прежде всего из формул (106) и (107) сразу следует важное заключение: при эллиптическом распределении циркуляции индуктивная скорость и индуктивный угол (скос) одинаковы вдоль всего размаха. Действительно, подставляя в формулы (106) и (107) значения коэффициентов An:
получим:
А — А —А -— —П
H1 — 4 Yi' — /I3 — ... — и,
Из этих формул, между прочим, видно, что с возрастанием размаха при заданной максимальной циркуляции индуктивная скорость и угол скоса стремятся к нулю, как это и должно быть при переходе к крылу бесконечного размаха. 462
пространственноь безвихревое движение
[і л. Vii
Если у крыла с эллиптическим распределением циркуляции „геометрические" углы атаки а но размаху не меняются, то будут сохраняться неизменными и „действительные" углы атаки ав. Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки называют геометрически незакрученным или плоским; крыло с постоянным по размаху действительным углом атаки называют аэродинамически незакрученным.
Геометрически незакрученное крыло с эллиптическим распределением циркуляции будет и аэродинамически незакрученным.
