Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Первые три из этих функций могут быть разысканы приемами, изложенными в предыдущих параграфах, остальные, соответствующие
1 См восемнадцатую лекцию из классических „Vorlesungen uber Mathema-(ische Physik von G Kirchhoff", Erster Band, Mechanikp Leipzig, 1897, стр. ? 70] движение тела сквозь несжимаемую жидкость 439
ящательным движениям, определятся как решения уравнения Лапласа, овлетворяющие своим граничным условиям (80) на поверхности тела о, Удтакже условиям обращения в нуль на бесконечности. 3 Перейдем теперь к разысканию главного вектора и главного момента сил давления жидкости на движущееся в ней твердое тело. Заключим движущееся тело внутрь некоторой неподвижной сферы очень большого радиуса г0 с поверхностью о0 и применим теорему количеств движения к жидкой массе, находящейся в переменном во времени объеме т между поверхностями о и о0. Обозначим через К вектор количества движения жидкости в объеме і, через R—искомый главный вектор сил давления жидкости на поверхность тела о и через R'--главный вектор сил давления, приложенных извне к поверхности а0; тогда будем иметь:
IF=-R4-R',
R==R'-1F- (81)
откуда следует, что
Вектор R' найдем по формуле
R'=— J/m0do0,
%
куда вместо давления р следует, согласно интегралу Лагранжа — Коши (13) (§ 36 гл. V), подставить выражение:
причем, по условию покоя жидкости на бесконечности: при г-+со р~* Poa, V->- О, о О,
функция F(f) ъ последнем равенстве может быть заменена на постоянную величину PaJp. Отбрасывая интеграл от постоянного слагаемого рю получим:
R'= р A jon0do0+1-J V*n0do0. (82)
»0 %
Секундное изменение главного вектора количеств движения ~
составим как сумму локальной производной количества движения в объеме т, заключенном между поверхностями о и о0, и количеств движения, переносимых в единицу времени сквозь „контрольные поверхности" о и o0 [вспомнить формулу (30) § 22 гл. III]:
-? JpVdt- JpKV da-j- JpKVda0. 440 пространственноь безвихревое движение [і л. vii
Первый интеграл, стоящий справа, в силу равенства V = grad со и известной интегральной формулы, может быть преобразован к виду:
р Tt Jgrad = ~р "3? da + P 1? JfaOdaOf
1 OS,
причем знаки минус, стоящие перед интегралами по поверхности о в обеих предыдущих формулах, объясняются тем, что орт направлен внутрь жидкости, т. е. является по отношению к жидкому объему X ортом внутренней нормали. Отсюда следует, что производная от главного вектора количеств движения может быть представлена в виде:
— = —-P^J<?П rfc—- р J VnV Jen0 rfc0-fp J VnVrfa0 =
в О J3 B0
= —р W J<?nda + PwJ ?М°о + р/ VnVdo0.
dK
Подставляя полученные выражения R' и в равенство (81), получим после очевидных сокращений:
R =P Л + 17X- Vnv)da0.
Замечая, что поверхность сферы о0 возрастает с удалением от
начала координат как а подинтегральная функция убывает как -І-,
го
заключим о стремлении второго интеграла к нулю и в пределе при r0 = оо найдем окончательно:
R = р J ?n rfo. (83)
в
Аналогичные рассуждения приводят к выражению главного момента сил [давлений:
L = P^-JcprXnrfo. (84)
9
Действующие со стороны жидкости на тело силу R и момент L можно интерпретировать как секундные изменения некоторых „присоединенных" к движущемусп телу количества и момента коли' чества движения.
Обозначим через К* и Q* главный вектор и главный момент количеств движения самого твердого тела, а через F и M—главный вектор и главный момент внешних сил, приложенных к телу, помимо ? 71J КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС" 441
реакций жидкости; тогда по теоремам количеств движения и моментов количеств движения, примененным к твердому телу, будем иметь:
dK* DIP dQ* I I M
Sf = R + F, ^r = L + M, или, что все равно:
С
(85)
Сравнивая систему уравнений движения твердого тела в жидкости (85) с аналогичной системой движения того же тела в пустоте
dK* р dQ* _ м dt = dt т'
заключаем, что движение тела в жидкости происходит так, как будто к главному вектору количеств движения его К*, благодаря наличию возмущаемой телом жидкости, присоединилось добавочное количество движения
В = —р J ®n da, (86)
S
а к главному моменту количеств движения твердого тела Q* „присоединился" добавочный момент количества движения
-pfv(rXn )da. (87)
Уравнения движения (85) можно переписать в форме
А (К*-f-в) = F, |-(Q* + J) = M, (88)
а векторы В и J назвать, соответственно, „присоединенными" количеством движения и моментом количества движения.
§ 71. Коэффициенты „присоединенных масс". Свойство симметрии. „Присоединенная" кинетическая энергия. Определение „присоединенных масс" поступательно движущегося цилиндра, шара и
эллипсоида
Изменим обозначение проекций векторов скорости полюса тела V0 и угловой скорости ы вращения тела на связанные с телом оси координат, пронумеровав их по порядку так:
ао = Яг> vOa=I* = «>*=?¦, <•>* = ?«. 442 ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [і л. Vii
Аналогично положим:
Bx = B1, By=B2, Bz=Bs; Jx = Bi, Jy=Bb, Je=B6.
