Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если задаться видом функции q (г'), то, вычисляя интеграл (70), получим потенциал скоростей, а дифференцирование по г* и г позволит вычислить и проекции скорости Vr* и ve. Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором q (У) будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман' разработал метод приближенного интегрирования соответствующего интегрального уравнения, основанный на замене интеграла коиечвой суммой.
. 1 Th. v. К а і т а п, Berechnung der Druckverteilung an LuftschiffkOrpern. Abhandl. aus dem Aerodyn. Inst. Aachen, 1927, Heft 6.
Подробное изложение этого и других методов, а также применение их к расчетам см. Н. Я. Фабрикант, Курс аэродинамики, ч. 1, гл. III. Госте»-издат, 1938.
-+- с
(70)
28 Зви, л г. Лв4цяша»а, 434 ttpoctpahctbehrtoe везвихревое двйженйе [гл. vtt
Однако метод Кармана не был общим и требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким и мало точным.
Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя (22) § 61, можно составить и потенциал поперечного обтекания тела вращения, складывая однородное иатекание с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распределенных по отрезку —с < z < + с диполей интенсивности m(zr)i
+с
,ж N г* cos є (• т (г') dz'
(г* z, є) =- —-—-—--J7. (71)
4 ГС J [Г*2+(г — 2')2]% v
—с
Здесь также можно задаваться распределением интенсивности т (z') или, наоборот, определять эту интенсивность нз интегрального уравнения, представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного на бесконечности.
Не останавливаясь на изложении этих, в настоящее время уже малоупотребительных методов, укажем лишь на простую их связь с "методами, изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при заданной форме поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции q (г') и т (г') могут быть выражены через раиее введенные коэффициенты An и Cn.
Разобьем ось симметрии тела вращения Oz на две области: одну, определяемую интервалом
-с^г^ + с,
заполненным „особенностями", и вторую, представляющую остальную часть оси Oz, где I z I > с. С точки зрения эллиптических координат X, р., введенных в начале § 66, отрезок, на котором расположены „особенности", можио представить, согласно второй из формул (53), так:
X = I — l^jxgl,
а остальную часть оси Oz, как
P-= ±1, 1<Х<со.
Тогда, сравнивая между собою вие отрезка (—с < г' < с) выражения потенциалов возмущений (70) и (71) с соответственными выражениями тех же потенциалов, взятыми из формул (55) и (61), получим следующие два равенства:
к ГЧЁ^-V-S^AW и
—1 И==0 ,
+1
1 Г /и(С|х')ф/ _ 1/ V "(Я+1) г dQn C7Q4
4м* J (X—я/)з - Li 2 п ~Ж* ( '
—1 Я=1
которые при заданных коэффициентах An и Cn можно рассматривать как два интегральных уравнения для определения неизвестных функций q и I ggj Метод „особенностей"
Интегральное уравнение (72) может быть легко решено, если искать решение в виде ряда
со
ч (<*•') = 2 апрп (г'), — ізін'^і.
п—о
Подставляя это разложение в (72), получим: -И оо
л
4я
ПчшО —1 W=O
Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандра* —і
перепишем предыдущее интегральное уравнение в виде
со со
я=о Я=О
откуда будет сразу следовать искомое решение:
я„ = 2лс IZctAi,
СО
§ (г') = 2кс Vco 2 (г'/с). (74)
w=o
Для разыскания второй неизвестной функции т (г') продифференцируем раз по X н другой раз по H-' известное разложение2
_ I
X
тогда получим
j—p = J] (2я +1) Qjl (X) Яя (Ю,
W = O
_____Ї___і V(2n + n^
2 Zl^n + l) dl dp' •
n—1
Подставляя это разложение в интегральное уравнение (73), преобразуем его к вццу:
+ 1
W=I —1 я—I
OO Ti OO
1 См. Уиттекери Ватсои, Курс современного анализа, ч. II, стр. 114
2 Там же, стр. 117.
25* 436 пространственноь безвихревое движение [і л. vii
Подставляя сюда разложение неизвестной функции в форме
со
m(Cfi') = -2^Vco(1 -^cJ-0-
й=1
и замечая, что в силу ортогональности полиномов Лежандра: + 1 jn jn ( 0, при kzfin,
при k = и,
C1 ^PndPrf (при кф
J1 t'-^^djy^-jy+1),
убедимся в справедливости равенства
сп ~ Cn.
Итак, имеем:
oo
m (Ф') = т (*') = _ -(^Jl . J Cs ^y. (75)
к = 1
Совокупности формул (70) с (74) и (71) с (75) позволяют при желании пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты An и Cn. Заметим, что эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контура меридионального сечения в ряды по функциям от эллиптических координат, а уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических или цилиндрических координатах. Так, например, как было показано в предыдущем параграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным удлинением коэффициенты An и Cn легко определяются путем разложения уравнения контура в тригонометрический ряд по косинусам эллиптической координаты ід.
