Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
K = X0.
Полагая в уравнении (57) An = О при п> 1 и X = X0, получим: 1 1
^1 =
X0-
VdxA-». 2 Xn-I Xj-I
1 См. С. Kaplan, Potential Flow about Elongated Bodies of Revolution. NACA Rep. Ns 516, 1935 г.; в этой статье вопрос об определении коэффициентов An сводится к решению линейной системы алгебраических уравне-
ний; более простой приближенный метод, применимый к удлиненным телам,
будет изложен далее в § 68. 424
ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[і Л. Vii
Потенциал скоростей будет равен но (55): ?(Х, HO=-CVt
1Ilx+1 I
-2 X0-I XJ-I
(58)
Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести явно полуоси эллипсоида а и b < а, расположенные, соответственно, по осям Oz и Or*. Будем иметь, согласно (53), уравнение эллипса X = X0 в виде:
Z2 , г*а
AS
C2(^-I)
откуда следует:
Cln
- а, с
V4-
или, введя эксцентриситет е-.
уа2 — fc2
1,
X0 = I, V4—1
В этих обозначениях получим: <в(Х, р)= — Vooa
1Hx+1 ,
I1 1-1-е In-
-<Л
I 2е 1-е 1 — <
(58')
Для проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потенциал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что по определению эллиптических координат:
при с -у О е -*¦ 0, сХ г, Ji cos в, где г и в — сферические координаты. Производя разложения:
In
In
H-I
X-I "
1+е 1 —е:
= In
и заменяя е на —, убедимся, что
при с-* 0 ® Vcozj 1 +-5-(-7-)'] ' т. е. к извесіному уже по § 64 выражению (43), поперечное обтекание тел вращения
425
Проекции скорости на оси эллиптических координат будут:
_/Iln Mll__h— \
,/ _ 1 д9 __ і/ ,/rX2-1 ( 2 mX-I X2-I \ v*~7h ах"~ ^co F X2=IJgl T^I4-е с — Mtt-
\ 2 1 — е 1 — е2 '
___ Zr , Х + 1 1 \ u 2 -nX-I j
—я,,, а,*- г /а—11д1 +е е г
\ 2 1 — е 1 — еа /
Полагая здесь X — Xq — —, убедимся, что на поверхности эллипсоида Vx = O; это и естественно, так как координатные линии (X) перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие Vx = 0 эквивалентно условию равенства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости. Распределение скоростей по поверхности эллипсоида определится равенством:
F=K =_?^_Vriw
11 1 ,і «t 4-е г 1 — eV
Полученное только что решение относится к обтеканию эллипсоида вращения, удлиненного вдоль по течению. Подобным же образом можно было бы исследовать и менее интересный с практической стороны случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы меридионального сечения которого лежат не на оси Oz, а в меридиональных плоскостях.1 В только что цитированных курсах приводится также решение более общей задачи об обтекании эллипсоида, у которого все оси различны.
§ 67. Поперечное обтекание тел вращения. Пример эллипсоида вращения
Наряду с продольным обтеканием тела вращения, параллельным его оси (рис. 147 а), представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (рис. 147 б) к оси симметрии тела. Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом атаки, что весьма существенно. Выясним идею решения задачи о поперечном обтекании тела вращения.
В этом случае уже не получается осесимметричного движения. Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в
1 См., например, И. А. К и б е л ь, Н. Е. К о ч и н и Н. В. P о з с, Теоретическая гидромеханика, ч. I. Гостехиздат, 1948, стр. 358—359, а также Г. Ламб, Гидродинамика. Гостехиздат, 1947, стр. 175—181, 426 ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [і Л. Vii
ортогональной системе криволинейных координат, согласно (12) § 60, иметь вид:
— (
'H1H7
. Hi dqj
:0.
Сохраняя ту же систему координат (Л, р., є), что и в случае осесимметричного обтекания тела вращения, и припоминая выражения коэффициентов Ляме (53'), перепишем предыдущее уравнение в форме:
д Sl
[(»" 1$] + Ir [(1 IK (у^ + ї4р)Й-0. (59)
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций
<?= N(к, p.)E(є);
тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (59) и разделяя функции независимых переменных, получим систему уравнений (k — произвольное число, которое будем считать положительным и целым):
= 0,
Jck-^+iia-^]-*
-N= 0.
Первое уравнение имеет решение
E = A cos Ы -j- В sin кг,
второе, если положить N-L (X) M (>->) и разделить переменные аналогично тому, как это ранее было сделано в уравнении (54), может быть приведено к системе уравнений-
й_
й\
JL
[a-rtfl+H^+D-^Af^o,
имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные функции Лежандра:1
^(),)^()?-\fldk^f
(60)
1 См., например, Е. Уиттекер и Г. Ватсон, Курс современного анализа, ч. II. Гостехиздат, 1934, стр. 119, § 66 J продольное обтекание тел вращения 427
Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей возмущенного движения было ограниченным при X со, получим общее выражение потенциала скоростей:
OO OO
? = S 2 Qn W О) (Ank cos ke -j- Bnk sin Ы) -j- V03X;
M=o fc=0
здесь последнее слагаемое представляет собою потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности Vr005 направленной параллельно оси Ox (рис. 147б).
