Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Замечая, что:
V-H ^Sl V _H ^g8 V _И d^i _ft
по (34?) найдем:
Следовательно, вдоль линии тока ф = const.
В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жидкости по меридиональным плоскостям (є = const) равенства = const представят некоторые поверхности, которые можно было бы образовать вращением линий тока вокруг оси Oz. Эти поверхности называют поверхностями тока; на самой оси Oz можно положить <{>= О, тогда значения 4і будут определять объемный расход жидкости через любое ортогональное к оси Oz сечение трубки тока, ограниченной данной поверхностью тока.
Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих векторного потенциала А скоростей, связанного с вектором скорости равенством (24). Действительно, согласно этому равенству и формулам (11) имеем:
Vffl = WtftA =
l^. =rot^
IHH3Aq) д (H2A4)'
L <>Яі Sgs
Г HH1Aq) д (HsAq)
L dqs dqi
fS(H9Aq) HH1Aq)
\
1 Xd(HtAn) HH1Aq)-1
4=rot&A = ^|—aii---^-J-
Выбирая вектор А перпендикулярным во всем пространстве координатным поверхностям q3 == const, будем иметь:
Azi = Ab = 0' ^3 = 0-
__1 S(HsAq)
<ь ~ H2H3 dq<, ' v _ 1
* ft „ '
H3H1 Bq1 406 пространственноь безвихревое движение [і Л. vii
положив H3Aq = ^ (<7i, gj, а коэффициенты Ляме и величину A^ — не зависящими от qs, получим формулы (34'). Так, например, в сферической или цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен по касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного г, и не зависеть от е.
Найдем функцию тока в случае нескольких ранее рассмотренных простейших движений. Для этого используем формулы (36) и (37).
1°. Однородный прямолинейный поток со скоростью V, параллельной оси Oz.
В цилиндрической системе координат имеем:
Vr* о — , Vz — V r* QrSt. j
следовательно:
ф* = — ~ Vri'
В сферической системе координат
V — Vcos 6 = 1 Л vr— і/coso — ^2gin0 d0 ,
Ve = -VsIne=--Цг^Г-
0 г sin 6 дг
Простое интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах дает:
4» = -J- W2 sin2 в. (38)
2". Источник (сток) дает простое выражение для функции і ока в сферической системе координат. Имеем:
V 1 Ц
4nr* ~ г*sine дв '
V6=O =--*
0 г sm 6 дг '
откуда нетрудно получить
, Q cos О , , ф = — --[-const,
или, подбирая константу из условия ф = О при А = 0:
ф = ^-O-COS 6). (39)
3°. Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (18'), будем иметь по (37) систему уравнений;
.. _ т соь 6__1 дф
2rrs ~ /-2Sinfl Ж» .. _ rosin 6 ___1_дф
Vl> ~~ 4иг» —TiinI "57' § 64] обтекание сферы. парадокс даламбьра 407
откуда следуеі:
йф т . 0 ,,
— = -К-Sin 6 COS и,
56 2кг
дф т Ofi -=Ji- =--3-; Sin 6.
or 4 ^r2
Легко найти интеграл этой системы, обращающийся в нуль при 0==0:
, /«sin2 6 ,.„Ч
^=-W- (40)
§ 64. Обтекание сферы. Давление однородного стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости на погруженное в нее тело. Парадокс Даламбера
Точно так же, как это имело место в случае плоского обтекания круглого цилиндра, можно най га пространственное обтекание сферы, накладывая однородный поток, параллельный, например, оси Oz, со
Vr
скоростью V00 на поток от диполя, ориентированного вдоль этой оси (рис. 140). Складывая функции тока (38) и (40), найдем функцию тока составного потока:
ф = - j Vco^sin2 О +^Lsin20 = (I V00/-2 + ?)Sin2 6. (41)
Нулевая поверхность тока
?=-(4^+4?sin2fJ = °
разбивается на уравнение поверхности сферы: 408 пространственноь безвихревое движение [і л. vii
где а — радиус сферы, и уравнение оси Ог:
0 = 0, ж, ...
Отсюда следует, что, желая получить обтекание сферы радиуса а потоком со скоростью Vco па бесконечности, направленным вдоль оси Ог, надо положить в выражении функции тока (41)
от = — 2та3 Vco,
тогда будем иметь
Ф = j V°or2 [:1 — )*] sin* 6. (42).
После этого уже нетрудно при желании найти и потенциал скоростей. Можно было бы проинтегрировать систему уравнений связи потенциала <р с функцией тока ф, но проще непосредственно составить сумму потенциалов слагаемых потоков (16) и (18')
,, т cos в .. Г, , 1 /й\3] г, V=Veog--^pr- -^[1 + -2(7) |cos0 =
- V<*z[l + у(7/')- (43)
Исследуем полученный поток. Прежде всего найдем распределение скоростей:
V, = = К. f 1 - (f )3 j cos в,
(44)
«-7$—Ч' + Т®]-"-'
Сразу видно, что на поверхности сферы (г = а) выполняется основное граничное условие Непроницаемости твердой стенки:
Vn=Vr=O,
а на бесконечности (г —> со):
Vr=VcaCos Ь, Vb = - Krasin6,
т. е. скорость однородного потока на бесконечности равна по величине V03 и направлена по оси Oz в положительную сторону.
Как это уже делалось ранее при изучении плоского движения, разобьем рассматриваемый поток на два: 1) однородный невозмущенный сферой поток со скоростями
Vajr = Voo COS б, IZcxO = — Vm sin б
и 2) поток от диполя, представляющий возмущение однородного потока сферой:
Vrr-=*- Voa (7) cos 6, V9=-J 1Ц7/ sin Ь. § (>4J
ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА
