Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
409
Скорости возмущения, как видно из последних равенств, быстро убывают с удалением от возмущающей поток сферы. Убывание имеет порядок обратной пропорциональности кубу расстояния.
Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется равенством
VB = —j Vm sin В.
Точки А и В (рис. 140) будут критическими, в них скорость обращается в нуль. Максимальная скорость будет иметь место в мвде-
левой плоскости при % = — , — она равна по величине
Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра (§ 38 гл. V), видим, что в пространственном случае обтекания сферы максимальная скорость на ее поверхности достигает только трех вторых скорости набегающего потока, в то время как в случае плоского обтекания круглого цилиндра максимальная скорость в два раза превышает скорость набегающего потока. Заметим, что (так же как и в случае плоского потока) в действительности максимальная скорость не достигает столь большого значения; сфера представляет плохо обтекаемое тело, с которого набегающий поток реальной жидкости срывается, не доходя при одних условиях даже до миделевой плоскости, при других—несколько заходя за нее (об этом подробнее будет сказано в дальнейшем).
Распределение давления по поверхности сферы получим по теореме Бернулли
из которой следует выражение коэффициента давления:
Как видно непосредственно из последней формулы, в силу симметрии главный вектор сил давления потока идеальной жидкости на Поверхность сферы будет равен нулю. Сфера при своем равномерном движении в идеальной жидкости не испытывает со стороны последней никакого сопротивления. В этом заключается частный случай известного парадокса Даламбера, о котором уже была речь во введении и в гл. V о плоском безвихревом движении. В рассмотренном только что случае сферы этот парадокс следует из соображений симметрии распределения давления по поверхности сферы, однако парадокс верен и при несимметричных обтеканиях.
( ^eXnax — ^oo.
/ V 9 „
s3n2 6.
V » f « 410
пространственноь безвихревое движение [і л. vii
Приведем общее доказательство парадокса Даламбера для случая пространственного безвихревого обтекания конечного по размерам тела произвольной формы. Для этого определим прежде всего порядок убывания скоростей возмущения однородного потока некоторым ограниченным замкнутой поверхностью о телом (рис. 141) при удалении от этого тела.
Разобьем потенциал о обі екания тела на потенциал однородною потока со скоростью V00, параллельной, например, оси Oz, и на
потенциал скоростей возмущения <р'. Последний потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах можно написать в виде:
__+ J-fsinfl-о Г45)
dr V dr J r sir,2 б de- + sin е 66 Vsln 0 дб J — U- W
Желая разыскать общий вид решения этого уравнения, положйм
<р'(г, е, Ь) = R (г) X (в, в),
где R (г) — функция только от г, X (г, 6) — только от є и 0. Подставляя это произведение в предыдущее уравнение, будем иметь:
yd/ йdR\ і R д*Х , R д ( . , дХ\_„ Л dr\r dr J-Tsm2O "Т" sin6 <Э6 Vsln 0 ~Ж)~~ '
или, отделяя функции г от остальных переменных:
R dr V drX [ Sin2O ' sin6 db Ism д6 JJ-
Слева стоит функция только г, справа — только є и 0. Поскольку переменные г, s и 0 независимы друг от друга, из предыдущего обтекание сферы. парадокс даламбера
411
равенства следует:
jRJFir*^) = C°nSt-
Легко видеть, что в число решений этого уравнения будут входить целые положительные или отрицательные степени переменного г:
R (г) — гп,
если только произвольную константу положить равной п(п-\-1). Останавливаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел й = — k, так как потенциал возмущения <р? должен убывать с ростом г, получим систему частных решений уравнения Лапласа (45) в виде:
х* <е-6> k = l 2
^fc, К- 1, Z/, ... UJ,
причем функции Xjc (е, 6) — их называют сферическими функциями — должны удовлетворять уравнению в частных производных:
1 г 1 д(
Sin2B , I 1 sin е ав V
При Дг = 1 решением этого уравнения, ограниченным при всех значениях 0 0 < г, будет X1 = const, что соответствует простейшему const
частному решению —-—, представляющему не что иное, как известный уже нам ньютонов потенциал единичного источника (стока). При k — 2 уравнение имеет решением const - cos 6, что приводит к потенциалу скоростей диполя.
В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал можно представить как сумму частных решений:
OO OO
(45')
fc=l fc=2
Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим обтекаемое тело сферой C0 большого радиуса г0 и, предполагая, что между поверхностью тела о и поверхностью сферы O0 нет источников или стоков, напишем условие равенства нулю суммарного расхода жидкости сквозь поверхность о0:
.f К'К= J?'= ¦—4- J- 2 -Ar JXt (в, В) ^O0 = О.
Oo O0 0 O0 Ъ = 2 0 S0
Замечая еще, что:
Г
da0 = r\ sin 0 db ds, do0 = 4*4 412 ПРОСТРАНСТВЕННОь БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [і Л. VII
получим:
°° Tl — AtzC— ^ pferj de J Є) sin 6 = О,
й=а °o о откуда при г0 оо и следует, что C = O.
