Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Полную „индуктивную скорость" Vi в точке О' от всей системы „свободных вихрей" получим, если просуммируем элементарные индуктивные скорости Avi по переменной С по всему отрезку несущей линии от точки В (С = —I) до точки А (С = /). Будем иметь следующее выражение индуктивной скорости:
¦4-І
/ \ 1 С dT dt,
*(*>=-STJ жT=I- (")
-г
Интеграл, стоящий справа, является, очевидно, несобственным, так как подинтегральная функция обращается в бесконечность при C = г; поскольку эта бесконечность имеет порядок первой степени, возникает сомнение в существовании интеграла (99). Чтобы рассеять это сомнение, уточним вопрос о применимости формулы (98) и об интегрировании в формуле (99).
Как известно, формулу (98) для скорости, индуцируемой вихрем, нельзя применять в той особой точке безвихревого потока, где расположен сам вихрь; в этой точке с координатой г = С скорость 456
пространственноь безвихревое движение
[і Л. Vii
обращается в бесконечность. Формула (98) определяет скорости безвихревого потока лишь вокруг данного „изолированного вихря", т. е. при Zzjz1L. Сообразно с этим и интеграл (99) следует понимать в специальном смысле и вычислять особым образом, исключая при интегрировании точку г = С. Разобьем для этого интеграл (99) на два интеграла, взятые соответственно по интервалам (е>0):—< <".г-—є и г-|-е <?,</, не заключающим внутри себя точку C = г, которая остается в интервале (г — є < С < г -f - е)> расположенном между принятыми интервалами интегрирования. Значение интеграла (99), определенное как предел:
.. г Vrfr rfc . гаї dz "і
SL J + J Ж ¦ ^Tj' (10°)
— i z-4-e
следуя Коши, называют главной частью интеграла (99).1
Предел (100) существует и представляет определенную функцию Vi (г), если, например, функция удовлетворяет в промежутке — I < С < I так называемому условию Липшица:
К^и-^ЦМ1^1'
где k и а — некоторые постоянные и, кроме того, 0 < «< 1. Если, например,^- = const, то
-У
гл. часть
Г JL- — Hm Г Г _ Г Л 1 = J 2 — С e!f0L J Z-C J c-z]
I —ї г+s
„Ш {f—In rin ^~z)}\Zlz+J = In ¦
______'С=г+еІ I — z '
В дальнейшем, встречаясь с „несобственными" интегралами типа (99), будем помнить, что такого рода интегралы должны вычисляться в смысле их „главного значения" по формуле (100).
Если непрерывная, один раз дифференцируемая функция Г (С) задана вдоль всего размаха крыла, то, вычисляя главное значение интеграла (99), определим для всех плоских сечений индуктивную скорость Vi, а затем и „углы скоса" а,-. Предполагая „углы скоса" малыми, будем иметь:
+г
• ~ vi 1 Г rfr /1г>1\
^ = J aPjzrc (101)
1 См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III, Гостехиздат (1933), стр. 415 и т. IV (1941), стр. 240. § 73J основные формулы теории „несущей линии" 457
Составим теперь формулы, позволяющие по заданному уравнению распределения циркуляции Г (C) найти подъемную силу и индуктивное сопротивление. Согласно (97), имеем для элемента длины крыла конечного размаха:
(IRa. = р VmT ds sin af — р VmY (г) Oti dz, dRy = р VmP dz cos оса === р VJT (z) dz,
где, в отличие от предыдущего параграфа, будем под Rx и Rv понимать проекции индуктивного сопротивления и подъемной силы всего крыла.
Заменяя величину Vm на Vcc, так как по (101) с точностью до вторых степеней Cii:
Vm = VvL+ vl = V00Vl+aj^ Vco,
получим следующие выражения элементарных сил: dRx = — рГ (г) Vi (z) dz, dRv = рГ (г) V00 dz.
Интегрируя эти дифференциальные выражения вдоль всего отрезка несущей линии (—I^z ^t), получим формулы индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла:
+г
Rx ~ — P f Г (z) Vi (z) dz, —г +і
Ry = P Voo [ V{z)dz.
(102)
-г )
Подставляя в первую из этих формул значение Vi(Z), согласно равенству (99), получим формулу:
+і +г
fj ГMdif (103)
—і —г
явно выражающую индуктивное сопротивление через распределение циркуляции Г (С).
Для фактического вычисления интегралов (99), (101), (102) и (ЮЗ) зададимся распределением циркуляции в виде тригонометрического ряда:
со
г (6) = 4 Vco /2 An Sin «0, (104)
п=і
где угол 0 связан с переменной по размаху координатой z равенством: z= — /cose, 1
(0^., -/^oJ (104'} 458 пространственноь безвихревое движение [і л. vii
Если распределение циркуляции симметрично относительно начала координат (г = 0, в = , то должно быть
Г (в) = Г (я — 6),
а следовательно:
i4g — — -¦ • • • *¦ ¦1 ' • • • ¦ • ¦¦ О»
Заметим еще, что, согласно распределению (104), значения циркуляции на концах „несущей линии" (z =— /, 6 = 0) и (г — 1, 6= я) равны нулю.
d Г
Вычислим по (104) производную полагая параллельно с (104') С — — I cos 6'; будем иметь:
OO
4V I VnA coznQ' 1 -.......-
И = 1
OO
COS П 6'
(105)
п—1
Подставляя эю выражение в формулу (99), получим выражение индуктивной скорости:
« (в):=_±?° Г у ПАКОЩУ ,
* \ J я J COl
COS 6' — COS 6
о п=1
V „А Г C0SW6' db'. „ J cos 6'— cos в
п= 1 О
Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего „главного значения" и равен
