Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Q(/+ АО = Pix>t + At) = P{x>t)VU>t +
+ AtH>t) = Q(t) (1 —МОЛ* + o(At)).
Отсюда получаем дифференциальное уравнение
решение которого (учитывающее начальное условие Q(0) = 1) дается формулой
Особое внимание привлекает случай h\t) =A,=const (что интерпретируется как отсутствие старения прибора', действительно, тогда вероятность того, что прибор откажет за время
Q(t) = Р{т >/}.
Q'(t) = -\(t) Q(t),
(1)
6*
83
от t до t+bt, не зависит от t: прибор, проработавший время t, по надежности такой же, как новый). В этом случае
t
Fx( 0 = Р{т < = 1 - Q(t) =* I — е-™ = j U~Xsis, (2)
а распределение случайной величины с функцией распределения (2) называется показательным распределением с параметром X. Плотность показательного распределения p,(t) дается формулой
px(t) = Хе~*-‘ при 0; pt(t)=0 при /<0.
Небольшое вычисление показывает, что
Мт = 1, Dt-1. (3)
Для эффективного применения распределения (1), которое будем называть обобщенным показательным распределением, необходимо знание функции \(t), которая называется интенсивностью отказов. Интенсивность отказов может быть оценена по статистическим данным об испытаниях большого количества приборов (вероятность отказа X(t)At в достаточно малом интервале времени (t, f+Af] может быть оценена по частоте отказов для определенного набора интервалов времени). Обычно считается, что при t, близких к нулю, Я,(t) несколько выше (приработочный период), затем снижается и довольно долгое время остается постоянной (как если бы мы имели дело с простейшим показательным законом (2)), а затем увеличивается (эффект старения).
Обобщенный показательный закон тесно связан с законом Пуассона. Модель этой связи состоит в следующем. У каждого прибора есть своя «судьба», состоящая в том, что ему «предопределены» отказы в случайные моменты ti, тг, ¦ •. , т„, ... (после отказа прибор ремонтируется, время ремонта не учитывается). Предполагается, что моменты отказов образуют пуассоновский поток. Это означает, что число отказов за интервал времени [s, (т. е. величин п, т2, ... , тп, —, по-
падающих в интервал [s, fl) подчиняется закону Пуассона с параметром
Л(«, 0 - Г >(т)dx. (4)
S
Числа отказов, отвечающие непересекающимся интервалам времени, считаются статистически независимыми.
Из такой модели вытекает закон (1). Действительно, момент первого отказа r=min (ti, тг, ... , т„, ...) обладает следующим свойством: событие (т^/) состоит в том, что на ин-
84
тервал времени [0, /] «судьба» не предназначила ни одного отказа. Вероятность того, что пуассоновская случайная величина с параметром А принимает значение 0, есть exp (—А); поэтому, полагая в (4) s=0, получаем из (4) закон (1).
Посмотрим, какие качественные выводы вытекают из понятия показательного закона. Пусть некоторый радиоэлектронный прибор («телевизор») состоит из п (для простоты обозначений — одинаковых) приборов («электронных ламп»). Пусть «телевизор» работает только в том случае, когда все п «ламп» исправны; моменты же отказов «ламп» t\, t2, ... , tn статистически независимы и подчиняются показательному закону с параметром А. Тогда момент t отказа «телевизора» задается формулой /=min(7i, /2, ... , tn), а закон его распределения Q(/)=P(V>/) выглядит следующим образом:
Q(Z) = P{/>Z)-P(^>?, *„>0= П Р(*»>0 =
/=1
Пусть теперь на «телевизор» установлен гарантийный срок 1 год. Мы хотели бы, чтобы гарантийному ремонту подвергалась небольшая часть (допустим, около 10%) всех телевизоров. Это означает, что Q(l)^0,9, что будет обеспечено, если п>.«0,1, т. е.
^ 0,1 I
X « —, — = 10п. п X
Поскольку 1/А, есть математическое ожидание случайной величины, то, скажем, при п=20 получаем следующий вывод: чтобы «телевизор» мог более или менее надежно проработать год, нужно, чтобы «электронные лампы» работали в среднем 200 лет. (Не ну^кно понимать этот вывод совершенно буквально: лишь на протяжении немногих лет электронная лампа может работать без старения. Но если мы по испытаниям электронных ламп в течение года будем определять закон продолжительности их жизни, считая его показательным, то отказы должны быть столь редки, что для 1/А, получается значение 200 лет.)
Требования к надежности отдельных элементов сложных приборов очень высоки. Такие сложные приборы, как ЭВМ, могут вообще работать только за счет резервирования их элементов (и систем, обеспечивающих постоянную проверку работоспособности и ввод резерва).
Продолжительность человеческой жизни. Еще примерно лет полтораста назад продолжительность человеческой жизни
85
было предложено описывать с помощью интенсивности отка зов, имеющей вид
