Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
оо оо
Msin5=Mr)= f х%рп[х\йхшт f xpiinl(x)dx. (9)
—00 — оо
Мы должны быть в состоянии доказать, что интегралы (8) и (9) равны между собой, т. е. что знак sin можно снять из индекса у плотности и перенести на переменную интегрирования. Такой удивительной теоремы не бывает в курсах математического анализа, базирующихся на интеграле Рима-на. так как в терминах римановского интеграла ее доказывать крайне неудобно (при монотонной функции f{x) это легко, а при f(x)= sin л: уже неприятно).
Понятие интеграла Лебега ( в виде доказательства теоремы 1) существенно в данном элементарном вопросе. Это означает, что если когда-нибудь будет пересмотрена теория меры, понятие интеграла Лебега должно сохраниться.
Что касается включения в Pi(x) обобщенных функций, то такое возможно, но при условии, что в таком выражении читатель сумеет правильно сделать замену переменной х на другую, связанную с х гладким обратимым преобразоваии-
71
ем. На другом языке то же самое можно сказать, отметив, что величина Pi{x) — размерная (если случайная величина | измеряется в сантиметрах то pi(x) — в обратных сантиметрах и т. д.: чтобы выражение pl{x)dx было безразмерным). Математические учебники не хотят замечать этого обстоятельства: никогда не встречается записи типа
р.(х) = — е-** — ; с \ггк см
наименование всегда опускается. Опускать наименование правильно либо в том случае, когда ? безразмерна, либо когда в записи типа
рЛх)------— «-<*-•»»•*
* ' о Уй
указание на размерность обеспечивается наличием в формуле размерного параметра о. Но если вместо о (и параметра а) подставляются числа, то нужно писать и размерность. Таким образом, понимать под (лг) обобщенную функцию можно, если при знаке 6-функции Дирака мы сумели правильно указать и размерность. Поскольку дискретные распределения имеют дело непосредственно с вероятностями (которые безразмерны), проще не связываться в данном случае с обобщенными функциями.
3.2. Понятие функции распределения. Для одномерной случайной величины |е/?1 большую роль (особенно в мате* матической статистике) играет понятие функции распределения. По определению, функцией распределения случайной величины | называется функция Ft(x), задаваемая равенством
Л(*) = Р{?<*)=ц5((—°°, *))• (1>
Из (1) следует, что при а<Ь
М[а, b)) = P{a^l<b)=P{l<b}-P{l<a)=Fl(b)-Fi(a). (2)
Это означает, что заданием функции распределения однозначно определяются значения щ((а, Ь)). Но нз теории меры известно, что мера на прямой (в частности, вероятностная мера ц() однозначно определяется своими значениями иа интервалах [а, Ь). Таким образом, более сложный объект — мера ц{, определенная на борелевских подмножествах прямой, однозначно определяется более простым объектом — функцией Fi(x), определенной на хе/?1.
Функция Ft(x), очевидно, монотонна: при xi<x2 Ft(xi)-< <Ft(Ar2). Небольшое размышление показывает, что она непрерывна слева. Действительно, интервал (—оо, х) является объединением интервалов (—оо, *„), xnfx. Но для любой
72
счетно-аддитивной меры ц справедливо следующее утвержден
ние:
если
At s At s . . . г 4яс= . . . и А ¦« U А„ то
1«1
Нпцх(Лп) = р(Д).
/I—*00
Следовательно,
|i5((-oo, х„1) = /^(jc,,) —/’.(х) = |*5((—оо, *)).
Функция F$(*). вообще говоря, может иметь разрывы' (но не более счетного числа, как всякая монотонная’ функция). Величина скачка /ч(*+0)—^5(х) = Нш(^5(л:+*)—
«10
—F^x) равна, очевидно, limP(x< ?<х + в) -= Р(? «• х) (та»
• to
как пересечение событий {*<?<х+е) при всех *>0 совпадает с событием {5—*}). Таким образом, разрывы функ-ции Ft(x) возможны лишь в таких точках х, что РЦ=х» >0. (Конечно, таких точек х имеется ие более чем счетное число.)
Возможно построение интеграла
f fWFfr) (3)
—00
как интеграла Римана—Стильтьеса. Нам нет нужды этим заниматься: просто будем понимать интеграл (3) как дру-
гое обозначение для интеграла Лебега J fWp^dx). Итак» по определению
J f(x)dF5(х) — j° f{xyjdx).
—00 — 00
Можио доказать, что любая монотонная и непрерывная* слева функция F(x), такая, что
lim F(x) «¦ 0, lim F(x) = 1,
является функцией распределения некоторой случайной величины, но мы пока не будем этим заниматься (см. обсуждение теоремы Колмогорова о продолжении меры).
Остановимся на связи между понятиями функции распределения и плотности распределения.
В силу определения плотности для абсолютно непрерывного распределения щ имеем
73
/’5U) = ^((—оо, *))= j' p%{y)dy. (4)
