Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
K(t) = А + Rexр (at).
(5)
Это так называемый закон Гомперца—Мейкема. В последнее время в рамках этого классического подхода были получены новые интересные результаты, которые частично излагаются здесь по книге Л. А. Гаврилова и Н. С. Гавриловой [11].
Формула (5) пригодна для описания закона распределения продолжительности жизни взрослых людей (детская смертность этой формулой не охватывается). Фактические данные, на которых основываются экспериментальная проверка формулы (5) и подбор значений ее параметров, публикуются в весьма архаической форме (но других нет). Речь идет о так называемых таблицах смертности.
Составление таблиц смертности, как и прочие вопросы изучения динамики населения, относится к особой науке — демографии. Наука эта — по-видимому, во всем мире — архаична и собирает (по традиции, сложившейся в прошлом веке) данные о народонаселении с такой точностью, какая достаточна лишь для того, чтобы страховые компании ие остались в убытке, но совершенно не достаточна для более тонких статистических обработок. При регистрации смерти возраст покойника учитывается с точностью до одного года. Возраст живых людей учитывается (по весьма приблизительным данным переписей) тоже с точностью до одного года. Так или иначе, статистика приносит (каждый календарный год) численности Dx умерших в данном году в возрасте х и численности Рх живых людей (в том же году), имеющих возраст х. Учитывая, что умерший в данном году человек все-таки в среднем полгода прожил, вероятность смерти qx (в возрасте х) рассчитывается по формуле
Далее берется число /о== 100000 (как бы родившихся в данном году) н рассчитывается по формуле
численности 1Х людей из этих 100000, доживающих до возраста х (если вероятности смерти остаются такими, какими они вычислены из статистических данных, относящихся к данному календарному году).
Число лет, прожитых всеми людьми из 100000 родившихся в этой модели, делится на 100000, в результате чего получа-
86
ется важнейший демографический показатель — средняя продолжительность жизни. Следует понимать, что определяемый таким образом показатель средней продолжительности жизни не совпадает со средним возрастом покойника, который можно узнать, собрав статистику по надгробным памятникам на кладбище (либо — более научно — собрав лишь сведения о возрасте покойников, умерших в данном году по данным регистрации смертей), так как в показателе средней продолжительности жизни замешана и возрастная структура населения. Демография мыслит в терминах условной вероятности смерти в возрасте от х до х+1 лет (при условии дожития до х лет), т. е. в терминах, аналогичных терминам теории надежности, что, в общем, правильно; но в наш век следовало бы прямо использовать непрерывную модель теории надежности, поскольку использование ЭВМ для всяческих статистических обработок делает это вполне возможным.
Один из интереснейших наблюдаемых в демографии фактов состоит в том, что в первой половине XX в. продолжительность человеческой жизни (в частности, средняя продолжительность жизни) возрастала, а примерно в 60-х годах это возрастание прекратилось.
По таблицам смертности (т. е. по наборам 1Х) можно производить оценку параметров модели (5). Эти параметры сильно колеблются в зависимости от страны, но общая тенденция состоит в следующем.
В развитых странах в течение XX в. значения параметра А снизились примерно в десять раз и в настоящее время настолько малы, что в формуле (5) несущественны (в старших возрастах). Авторы [11] интерпретируют параметр А как некую «фоновую», или «случайную», смертность, которую можно снять за счет повышения уровня жизни и медицинского обслуживания. Наоборот, значения параметров R и а в (5) изменились мало. Авторы интерпретируют член R exp (at) как показатель «естественной» или «возрастной» смертности, существенно повлиять на которую не удается. Примерные значения параметров
Rz= 3 • 10-5 год-1, л — 0,1 год*1.
Для возраста f=40 лет вероятность «возрастной» смерти в течение года есть примерно
R ехр (а/) - 3 • 10-* • е* « 160 • 10-5 «> 0.0016.
Вклад члена А сильно колеблется от страны к стране, но по порядку величины составляет 0,001.
Таким образом, для возраста 40 лет возрастная и фоновая смертность составляют величины одного порядка; при увеличении же возраста за счет быстрого роста члена R exp (at) возраетная смертность преобладает над фоновой. Снижение
87
смертности в XX в. шло за счет фоновой компоненты смертности, которая в развитых странах приблизилась к нулю. После этого дальнейшее снижение смертности (в частности, возрастание средней продолжительности жизни) прекратилось.
Ограничимся изложением лишь этого вывода из книги ГII], которая содержит также ряд других, не менее изящных интерпретаций статистических фактов. Чтобы у читателя не создавалось чрезмерных иллюзий относительно возможностей чисто статистического подхода к описанию продолжительности человеческой жизни, обратим внимание на один, на первый взгляд технический, вопрос.
