Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Даваемое формулой (1) выражение для М/(?) в виде интеграла по Rn, вообще говоря, проще, чем его выражение в виде интеграла по й, поскольку евклидово пространство Rn может быть гораздо проще, чем произвольное множество О (например, множество функций). Одиако интеграл Лебега общего вида по Rn все равно вычислен быть не может. Преобразовать правую часть (1) к чему-то более явному можно в двух случаях: 1) когда распределение дискретно; 2) когда
распределение абсолютно непрерывно (а также когда щ есть линейная комбинация дискретного и абсолютно непрерывного распределения).
Распределение |*г называется дискретным, если мера Рг сосредоточена на некотором не более чем счетном множестве /( = (аь а*,.... а„,...}. (Это означает, что |лг(/()г= 1.) в этом случае Дп = К U (Rn\K)t причем ЫКа\Юя*®- Поэтому интеграл по Д" сводится к интегралу по К, а последний распадается в счетную сумму:
I f(x)H(dx) = f f(x)H(dx) = 2 /(flOP{l = в,) (2)
л" * в|6К
(мы воспользовались известным из теории меры и интеграла фактом, состоящим в том, что интеграл Лебега по множеству A=Ai+A2+ ... равен счетной сумме интегралов по множествам Аи А2,...: счетной аддитивностью интеграла Лебега как функции от области интегрирования). Мы узнаем в формуле (2) обобщение способа вычисления математического ожидания для случая дискретного й: здесь Q —произвольное, но случайная величина ? принимает лишь счетное число различных значений аь а2,....
Распределение ц{ называется абсолютно непрерывным (относительно меры Лебега в Rn, элемент которой обозначается dx), если существует измеримая (по Борелю) функция Рг(х), такая, что для любого борелевского B^Rn выполняется соотношение
69
Р{5еВ} = !1,(5) = f Pi{x)dx.
в
(3)
Функция Pt(х) называется плотностью распределения случайной величины ? (также плотностью случайной величины |, плотностью вероятности случайной величины |). Смысл термина прозрачен: если плотность массы есть такая функция, что интеграл от нее по некоторому объему равен массе вещества в этом объеме, то плотность вероятности — это то, интеграл от чего равен вероятности (попадания значения случайной величины ? в область интегрирования В). Очевидно, что p«(*)s>0 (для всех х, кроме, быть может, множества лебеговой меры нуль) и что
J р5(x)dx «* Р{& еДп}- I. я"
Обратно, неотрицательная измеримая по Борелю функция р(х), интеграл от которой по Rn равен 1, является плотностью распределения некоторой случайной величины.
Действительно, положим й=/?", ® — о-алгебра боре-
левских множеств в Rn и для Ве ®
Р (В)ш.^р(х)йх. (4)
Тогда (в силу только что отмеченной счетной аддитивности интеграла Лебега) Р — счетно-аддитивная мера на ® и {Rn, ®, Р) — вероятностное пространство. Положим, наконец, для oe/?n ?(о))=й). Тогда | — случайная величина, такая, что pt{x)=p(x).
Теорема 2. Для любой измеримой (по Борелю) функции f(x) имеем в случае абсолютно непрерывного распределения ц.
f •-1 f(*)Pi(x)dx (5)
я" я"
(оба интеграла существуют одновременно).
Действительно, если /(лг) =/д(лг), B^Rn борелевское, то
I Ых)М^х) - р5(Я) = J pt{x)dx=$ IB(x)pt(x)dx.
Rn в вя
Если f(x) — линейная комбинация счетного числа индикаторов непересекающихся множеств, то (5) также справедливо (если существует хотя бы один из интегралов, входящих в (5)). Произвольная же измеримая функция /(лг) может быть аппроксимирована (равномерно) счетными линейными комбинациями индикаторов, и доказательство теоремы завершается предельным переходом.
Таким образом, для абсолютно непрерывного распределения получаем формулу
70
M/(?) = J f(x)P;(x)dx, Rn
(6)
которая вместе с формулой (2) и исчерпывает большую часть случаев, когда математическое ожидание возможно подсчитать. (Возможна, конечно, и линейная комбинация этих двух случаев.)
У читателя, ориентированного на приложения, естественно должен возникнуть вопрос: зачем, собственно, начинать с общего понятия интеграла Лебега? Не проще ли определить математическое ожидание формулой (6)? (При этом если позволить себе включить в плотность Р\(х) некоторую линейную комбинацию б-функций Дирака, то формула (2) включится в формулу (6).) Оказывается, однако, что так поступить совершенно невозможно.
Дело в том, что, например, для 1=/?' получаем
ОО
М?= f xp.Jix)dx, (7)
—оо
а для какой-нибудь функции /(1), например f(l)=sinl, хотим иметь возможность воспользоваться формулой
ОО
Msfn| = I* sin xp^(x)dx. (8)
—ОО
Но sin| есть опять случайная величина: r|=sint, н в силу (7) должна быть справедлива формула
