Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
pt(x) = 1, поскольку ДОЛЖНО быть 1 = J ръ(х)Ах= I* рь (x)dx,
—оо
откуда р«(х) = 1 (размерность 1/ед. длины).
Очевидно, что
ма = о,
0,5
-0.S
D6 = М S2 = \ x*pb(x)dx = -у
0.5 j
= — (кв. единиц). 12
—0.5 -0.5
Сделаем линейное преобразование, при котором отрезок [—0,5; 0,5] переходит в отрезок [а, 6]. Случайная величина б перейдет при этом в случайную величину § с плотностью распределения рг(х) = \/Ь—а, хе[а, Ь]; pt(x) = Q. х&[а, Ь]. Такое распределение называется равномерным на отрезке [а, b]. Легко видеть, что
М| = у-\
"? = ^(6 - о)*.
4.4. Нормальное распределение. Существует большое количество способов прийти к знаменитому в теории вероятностей нормальному распределению. Лаплас пришел к нему с помощью центральной предельной теоремы (в простейшем случае к нему можно прийти с помощью анализа распределения числа успехов в п испытаниях Бернулли при л->-оо); Гаусс — путем исследования разумных оснований того, что при большом числе наблюдений за наилучшее приближение к истине мы берем среднее арифметическое. Можно прийти к нормальному распределению, поисследовав, какие распределения воспроизводят сами себя при суммировании независимых случайных величин; можно — постулировав статфизическое распределение Гиббса. Но никакой из этих способов не дает
в—2567
81
полной гарантии того, что некоторая конкретная задача приводится к нормальному распределению — попросту потому, что не существует гарантий статистической однородности, т.е. того, что конкретная задача вообще приводится к каким-то распределениям вероятностей. Поэтому введем нормальное распределение чисто математическим определением.
Говорят, что случайная величина I имеет стандартное нор-мальное распределение (иначе — распределение N(0, 1), т. е. нормальное распределение с параметрами (0, 1)), если ее плотность pt выражается формулой
(Числовой множитель 1/У2я подобран так, чтобы интеграл от Pt(x) равнялся 1.)
Очевидно, М?=0; простой подсчет показывает, что D|=l. Нормальным распределением N(a, о) с параметрами а и о (а—вещественное число, о^О) называется распределение случайной величины
Переход от | к ц можно интерпретировать как переход к новому началу отсчета н новой единице измерения. Согласно лемме п. 3.3, получим
Очевидно, что Mri = a, Dti = <j2; а есть, таким образом, среднеквадратическое уклонение для т).
Нормальное распределение является любимой моделью при статистической обработке наблюдений (мы позже познакомимся с этой ситуацией). Вообще, при создании каких-то вероятностно-статистических моделей думают прежде всего O' нормальном распределении и лишь при явной необходимости прибегают к более сложным. По мнению автора данной книги, часто лучше удовлетвориться умеренным согласием нормального закона с фактическими данными, чем искать хороик> согласующийся более сложный закон: попытки достичь лучшего согласия за счет более сложной модели обычно лишь скрывают отсутствие статистической однородности.
С нормальным законом связано так называемое распределение хи-квадрат. Так называется распределение суммы квадратов
где |ь 5г. • • • . im — независимые между собой случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное
рМ - —7— е~*чг, — 00 < * < 00 •
% у2я
Ti = + а.
X2m = *? + ?§+. . •+&.
82
распределение N(0, 1). Число слагаемых т в этой сумме называется числом степеней свободы; само же распределение величины Хщ называется распределением хи-квадрат с m степенями свободы. Это название связано с физическим смыслом распределения хи-квадрат.
Именно, в максвелловской модели идеального газа проекции скорости молекулы vit w2, »з на оси координат считаются независимыми случайными величинами, имеющими (каждая) нормальное распределение N(0, а) (при этом тако-
во, что выполняется соотношение ma2=kT, m—масса молекулы, к—постоянная Больцмана, Т—абсолютная температура). Тогда кинетическая энергия молекулы есть
что с точностью до числового множителя совпадает с распределением х|- Материальная же точка имеет три степени свободы.
4.5. Показательное и обобщенное показательное распределения. Пусть некий прибор начинает работать в момент /=0 и работает до случайного момента отказа т. Попытаемся понять, каким может быть распределение вероятностей случайной величины т. Для этого составим дифференциальное уравнение для функции
Сделаем следующее предположение: если прибор исправно проработал до момента времени t, то условная вероятность того, что он проработает еще немного времени, т. е. до момента t+At, есть единица минус величина, пропорциональная At (т. е. вероятность отказа на интервале времени (t, t+ + Д/] равна k(t) At+o(At). Имеем
