Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 33

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 161 >> Следующая

ОО 00
рь(хi)= J • • • j Px&t... Ед(*1. ,xn)dxt... dxn. (4)
В самом деле, нужно проверить, что функция, задаваемая правой частью (4), удовлетворяет соотношению
- f PZl(x')dxi- (5)
Bt
Но
Р{ьея1)-Р(ьея». -«><?,<<*>,..., -ос<$п<оо}=
OD вО
в | j* * * * j* • • %п • • • » xn)dxtdx%... dxn. (6)
«¦6Л| —« —»
Известно, однако, что интеграл, стоящий в правой части (6), можно взять сначала по переменным х2, ... , хп (в пределах
78
от —w> до оо), а затем от того, что получится (а получится именно правая часть (4)), взять интеграл по xi^B\. Это и доказывает (5).
Таким образом, в случае существования плотностей распределения (одномерных или совместной) равенство (1) можно принять за определение независимости случайных величин Sb ^2» • • • > Sn*
Если плотностей не существует, а существуют лишь
меры (ji5(B) = Р{? = (6,........1„) 6 В), В с /?„) и ^
(|itj(S,) я P{|,e5|}, SiQ/?1), то определением независи* мости является следующее:
= **& X X • • • Х1*?л (7)
(в правой части (7) стоит прямое произведение мер).
Замечание. Счетная система независимых случайных величин h% ?»,.••,?«,••• (либо счетное произведение мер X 1*5, X . • . X X ...) ие может быть в данный момент определена. Для введения этих объектов требуется теорема Колмогорова о продолжении меры.
4.2. Общие свойства математических ожиданий и дисперсий. Из определения математического ожидания
MS - fl(o>)P(<4 h
вытекает его линейность: Mfal+brj) =аМ|+ЬМт), где а и b— числа, I и 11 — случайные величины, имеющие математическое ожидание.
Дисперсию Dg случайной величины | заново определять не нужно: как и в дискретном случае
Щ=М(!-М1)’.
Аналогично дискретному случаю
+?,+... +1„) - 2 +2cov 4-1 i+f
где cov &u h) =M(1,-Mi,) (g/—Mg,).
Для независимых случайных величин ? и rj, имеющих (каждая) математическое ожидание, верно равенство
тп=тглц, (1)
а следовательно, в случае независимости
D(?i+ ?•+...+!„) = 2ВД«. (2>
i-l
П
Для доказательства (1) можно использовать соотношение
00 00 MU - I I
— ОО «оо
и теорему Фубини. Можно использовать дискретную форму (1) и предельный переход:
in-*i> “Ч П--Ч»
где ?„ = k/n, если &/я< ?(«>)<^(Л + 1)/я (и аналогично для т)п). Тогда и ?}п независимы (как функции от незави-симых случайных величин ? и tj). Покажем, что так же, как и в случае дискретного пространства элементарных событий, справедливо равенство М6„т)п = МЕяМт)я. Действительно, разбивая множество Q в сумму непересекаю-щихся множеств Ик/ вида
-4*/” J ш: inH =
мы получим, что интеграл Лебега по множеству й от произведения ?„г1п разобьется в (счетную) сумму интегралов по множествам А м. Но
f 6n(®hn(»)P(<*»)--- 7 р( in = —
П П \ П
что и означает, что M?ntin= Mi„Mrjn. Имеем далее li*] — in’Jnl — lil — 6ч n + &ч» — in„| =
= № - ъ) + (i - i»hn| < — III -h - Ы-
n n
Следовательно (поскольку существует Ml?|, М! i]', а стало быть, н Mlrinl <Mlnl + 1 /п),
MiTj = lira М ?„т)п “ Нш Mi„- Urn Mt]n — М.1Щ.
п->ов л-*оо я—*оо
В общем, вывод (1) требует незначительных усилий.
Неравенство Чебышева в общем случае доказывается так же, как и в дискретном.
Но комбинация (2) и неравенства Чебышева автоматически приводят к доказательству закона больших чисел. Таким образом, фактически одно лишь правильное понимание независимости случайных величин в общем случае (совместное распределение есть прямое произведение одномерных) сразу позволяет обобщить (с дискретного случая на общий) закон больших чисел.
Перейдем к конкретным примерам распределений.
*0
—, 11п(ш)“— }• к, 0±1, ±2,...,
п п I
4.3. Равномерное распределение. Пусть результат некоторого измерения записывается с округлением до ближайшего целого числа (при соответствующем выборе единицы измерения); 6—ошибка округления. Тогда величина б принимает значения на интервале [—0,5; +0,5] и любые возможные значения 6 равновероятны (в интуитивном смысле, предполагающем некую изначальную случайность ряда результатов многих измерений: результату измерения все равно, в какую точку попасть между ближайшими целыми числами). Формализуем эту интуитивную вероятность, сказав, что плотность равна нулю вне отрезка [—0,5; +0,5], а на этом отрезке принимает постоянное значение. В выбранных единицах, очевидно,
оо 0.5
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed