Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Основное свойство характеристических функций состоит в том, что для независимых случайных величин |i и
MO/JO. (3)
Действительно,
Ме"«‘+^ = М{в"ь еиЩ = Me"?* Ме«г* =
(использованы независимость величин е'*ь и eil'-\ вытекающая из независимости ?i и ё2« й свойство математического ожидания произведения независимых случайных величин).
В частности, если существуют плотности р. и рь, та (3) означает, что преобразование Фурье свертки (композиции) плотностей р^ и рь равно произведению их преобразований Фурье.
Таким образом, характеристическая функция суммы S»=* в?| + &г+ — + ?¦. независимых случайных величин равна попросту произведению характеристических функций слагаемых. Вопрос заключается в том, чтобы заключить отсюда нечто (а именно — центральную предельную теорему) о самих распре-
92
делениях вероятностей. Способы перехода от характеристических функций к распределениям вероятностей разнообразны и отличаются большей или меньшей трудностью (и соответственно меньшей или большей аналитической глубиной). Выбираем самый легкий (и самый неглубокий) способ, основанный на элементарных понятиях теории обобщенных функций. Ситуацию можно пояснить с помощью следующего примера.
Пусть Zn(*) — сумма п членов ряда Фурье (никакая не случайная величина) некоторой периодической функции /(*), хе[—л, я]. Можно указать по крайней мере два способа понимать соотношение 2п(х)^(х) при п-+-оо. Первый способ (более глубокий аналитически, но и более трудный для дока-зательства) состоит в исследовании сходимости 2„(д:)—*-/(*) в каждой точке х. Доказательство состоит в выражении суммы Zn(*) через интеграл от f(x) с некоторым ядром и в исследовании этого ядра при п—>оо (нужно проследить, как при п—<-оо ядро становится похожим на б-функцию, сосредоточенную в точке дс). Другой способ состоит в исследовании сходимости Zn->7, например, в пространстве L2 (функций, суммируемых с.квадратом). Тригонометрические функции ортогональны в гильбертовом пространстве L2; нужно установить лишь их полноту (а она вытекает из того, что тригонометрическим полиномом можно приблизить непрерывную функцию; tiолином не должен быть отрезком ряда этой функции). Этот способ проще аналитически, но ничего не говорит о сходимости в каждой отдельной точке х. Еслн угодно, первый способ есть способ классического анализа, второй — функционального анализа.
В теории вероятностей имеется большое количество теорем как первого, так и второго рода. Было выяснено, что теоремы первого рода (так называемые локальные предельные теоремы) не дают наиболее коротко формулирующихся результатов. Теоремы второго рода (называемые интегральными предельными теоремами) более просты по формулировкам, не говоря уж о доказательствах. В данной книге, ориентированной на приложения теории вероятностей, мы останавливаемся на более простых интегральных предельных теоремах, так как лишь очень редко может встретиться такая практическая ситуация, в которой играет какую-то роль различие между интегральными и локальными теоремами.
Изучение интегральных теорем основано на понятиях преобразования Фурье и слабой сходимости. Напомним сейчас простейшие свойства преобразования Фурье, которые будут ?ще раз использованы в данной книге при построении спектрального разложения (обобщенного) стационарного случайного процесса.
1.4. Обобщенные функции и преобразования Фурье. Отправляемся от известных из анализа определений и формул.
93
Пусть f(x)—некоторая функция от хе/?1, суммируемая на всей прямой. Тогда функция
Г(0- ]eu*f(x)dx (I)
называется преобразованием Фурье функции /(*).Еслн^(/)— суммируемая функция (переменного /), то имеет место фор-мула обращения:
во
/М = J е-,,я 1т- (2)
Надо иметь в виду, что условие: Д/) — суммируемая
40
функция (т. е. Jоо) — довольно ограничительна.
—во
Например, если /(дс)=1 при 0<*<1, /(дг) = 0 при аг<0 и дс>1, то 7(0 — не суммируемая функция.
Поэтому ограничимся более узким классом функций f(x}: будем рассматривать лишь дважды непрерывно диффереиц». руемые финитные (т. е. обращающиеся в нуль вне некоторого конечного отрезка) функции. Такие функции будем называть гладкими финитными.
Вычислим преобразование Фурье функции f'(x). Имеем
p(t) = J f'(x)dx---------J itei,Jtf(x)dx = (-it)] (/).
Таким образом, дифференцированию функции отвечает в преобразовании Фурье умножение на (—it). Следовательно, функция (—t2)f(t) есть преобразование Фурье функции f"(x). Так как функция f"(x) непрерывна н финитна (вместе с функцией f(x)), то преобразование Фурье функции f"(x) ограничено. Следовательно, t?\T(t)\ ограничено прн всех t. Поскольку функция f(t) непрерывна, запишем неравенство
l/V)i<c/(i+o, (3)
где С — некоторая константа (неравенство (3) выражает тот факт, что | f(t) | ограничен при ограниченных t и на бесконечности убывает не медленнее чем С/t2). Но тогда функция f(t) суммируема. Получили следующую лемму.
