Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 41

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 161 >> Следующая

§ 2. Слабая сходимость. Теорема Хинчина.
Центральная предельная теорема
2.1. Слабая сходимость. Распределение суммы Sn=li + -Ь|2+ ...+?„ не может быть очень похожим на нормальное-Например, если слагаемые принимают только целочислен* ные значения, то S„ также принимает только целые значения; в то же время, с точки зрения нормального распределения» множество целых чисел имеет вероятность нуль. Далее, в теории вероятностей постепенно было понято, что удобно рассматривать сходимость распределений вероятностей к некоторому предельному распределению. Между тем последовательность распределений сумм 5„, как правило, ни к какому предельному закону не сходится: для любого фиксированного' А при л-*-оо P{|S„|<i4}->0, в то время как любой закон распределения вероятностей ц обладает тем свойством, что для е>0 найдется А, такое, что ц{дс:|дс|<А)>-\—е.
Мы обязаны Лапласу пониманием того, что нужно рассматривать не сами суммы S», а так называемые «нормированные суммы»:
s;=(S„-MSn)/KDS;.
Очевидно, что Ms*»0, но совершенно не очевид-
но, что распределение вероятностей s’ стремится к нор» мальному закону N(0, 1) (это мы и должны доказать).
В каком же смысле может происходить это стремление? Если Sn — целочисленная случайная величина, то значениями s* являются хоть и не целые числа, но все же элементы некоторого счетного множества.
{*«: хт — (т— NiSn)/KDS„, т — целое},
имеюшего (в смысле нормального распределения) меру нуль.
Дело в том, что среди всех возможных математических идеализаций понятия «множество возможных результатов наблюдений» нет ни одной абсолютно удовлетворительной. Сказать, что возможными результатами являются любые вещественные числа, нехорошо, так как нет такого носителя информации, на котором можно было бы записать счетную последовательность десятичных знаков. Сказать, что результа-
том является рациональное число, записанное конечным числом десятичных знаков, тоже нехорошо, так как мы тогда теряем иррациональные числа (да и число Уз. например, записывается конечным числом знаков в троичной системе счисления, но бесконечным — в десятичной). Поэтому правомерна концепция, в которой точному знанию результата наблюдения не приписывается особой роли. Прибор, который призван регистрировать, произошло или нет событие (?е[а, 6]}, на самом деле обладает некоторой неопределенностью: при ?, очень близком к одному из концов отрезка [а, Ь\ он будет регистрировать это событие с какими-то ошибками.
Идея слабой сходимости основана на том, чтобы ска-зать, что указанный прибор при очень большом числе испытаний будет измерять не вероятность Р{?е[а, &]}*= =М/[в.ы(?), a М<р(?), где ф(дг)—некоторая гладкая функция, похожая на 7[а,ы(х). Обычно в учебниках теории вероятностей рассматриваются непрерывные функции ф(дг); но ограничение гладкости, принятое здесь, сильно упрощает рассуждения (ничего не меняя по существу, так как непрерывная функция может быть равномерно аппроксимирована гладкими).
Определение. Говорят, что последовательность вероятностных мер ц„, п—\, 2, ..., слабо сходится к мере ц, если для любой гладкой (дважды непрерывно дифференцируемой) н финитной функции ф(х) справедливо предельное соотношение
ев оо
р«(ф) - (i*n. ф) - J ф(*ЫЖ0->(t*, ф) - fф(-Ф(<**). (О
Замечание. Конечно, выполнение (1) для любой гладкой финитной функции не претендует на особенную физич-ность; слабая сходимость есть также не вполне совершенная идеализация.
Теорема. Для слабой сходимости ц„—необходима и достаточна сходимость соответствующих характеристических функций
m = J «%«(<!*)->/(*) = ] euWdx). (2)
•>м -во
Замечание 1. Эта теорема называется теоремой о непрерывности соответствия между законами распределений вероятностей и характеристическими функциями (взаимная однозначность соответствия доказана в предыдущем параграфе).
Замечание 2. Мы будем понимать сходимость в (2) как поточечную сходимость при любом t. Но можно доказать, что
7* 99
эта сходимость может быть только равномерной в каждой ог-раниченной области значений t.
Доказательство теоремы. Достаточпость. Пусть выполнено (2). Как показано в предыдущем параграфе,
j/Ло $*)<**. pm—^ J микол.
Так как |/„(*)|<1, а ||<р(Ф*< ®=, то !ая(ф)-»|а(ф) по тео-
—оо
реме о предельном переходе под знаком интеграла Лебега (подынтегральные выражения ограничены суммируемой функцией).
Необходимость. Во-первых, если ц„—*-ц слабо, то существует (для любого е>0) число А„ такое, что ц{дс:|дс| <А.}>1—е, ц„(дг:Ы<А.)>1— е для достаточно больших п. Действительно, существует число В„ такое, что для предельной меры ц выполняется соотношение |n{je:|jc|<В,}>\—е/2. Положим у4е=Ве+1 и рассмотрим гладкую функцию ф(дг), которая заключена между 0 и 1, равна 1 при |х|^В. и равна нулю при |дс|>АШ. Тогда и-(ф)^1— е/2. Однако Цп(ф)-*-и-(ф), следовательно, при достаточно большом я Мч (ф)^1—е.Но этого не может быть, если |дс| <j4*}<
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed