Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Р(Щ-Ц°М» _ PfScOtr1^))) УЧО(Г‘(У))) (2)
V(0(y)) У{0(Г‘(У))} * ^(O(y))
Замену 1~l(0(y)) на 0(f~l(y)) надо понимать в том смысле, что при (однозначном) обратном отображении f~l окрестность О (у) переходит в некоторую окрестность 0(f~l(y)) точки f-'(y), причем если 0{у)\у, то и 0{f~l{y)) \ f~Hy). Известно, что при этом
vm-НуЩ ы
V(0(y)) '
где через Df~l(y) обозначено значение якобиана отображения /_1 в точке у. Поэтому, переходя в (2) к пределу шри 0{у)\у, получим
PW-pJf-'mW-'m (4)
Мы получили следующую лемму.
Лемма. Значение плотности рл(у) случайной величины П=Д?) Дается формулой (4).
На самом деле, формула (4) верна и для произвольных измеримых плотностей распределений. Она, собственно, представляет собой частный случай формулы замены переменкой в кратном интеграле.
Поскольку /(/-'(у))=у, Df(f~'(y)) Df~'(y) = U используя обозначение fr'(y)**x, получим, что
Df~'(y)=* 1/ад, (5>
если y=f(x) (или, что то же, x—f~l (у)). Иногда формула (5) полезна при вычислениях.
76
§ 4. Примеры применения основных понятий и формул
Имеется очень большое количество конкретных вероятностных моделей, в которых найденные из тех или иных наводящих соображений распределения вероятностей более или менее точно моделируют свойства изучаемого явления. Приведем сравнительно небольшое число таких примеров (за невозможностью объять необъятное). Но начнем с некоторых общих понятий, чтобы увидеть, насколько легко и естественно переносится то, что мы ранее изучали в дискретном случае, на случай произвольного й.
4.1. Общее понятие независимости. Двум (или нескольким) независимым опытам соответствует прямое произведение вероятностных пространств. Фактически это понятие изучается в теории меры; нам остается лишь его напомнить.
Пусть {QO, Ф<п, Р(1>} и Ш<2;,93(2), Р(2)}—два вероятностных пространства. Образуем новое й как прямое произведение Й=Й(1,ХЙ(2). Что касается о-алгебры событий в й, то ее формирование протекает в два этапа: сначала рассматриваются подмножества Дей, имеющие вид Л=Л(1)хЛ(2>, где 851, i'=l,2. Вероятностная мера Р на этих подмножествах определяется по формуле Р(/4) = Р<|) (Л^) Р(2) (А{2)). Затем (по теореме о продолжении меры) мера Р продолжается на некоторую о-алгебру ® измеримых подмножеств й (которая несколько шире, чем наименьшая а-алгебра, порождаемая «прямоугольниками» Л<‘> X Л<9).
Независимыми случайными величинами называются такие величины ?|, |г, •. • , |п, что для любых борелевских подмножеств В\, Вг, ... , Вп события
{ !i sBj}, {|г ? Яг}, ... , {In е/?п>
независимы в совокупности. Так же, как и в дискретном случае, доказывается, что любые (измеримые) функции от независимых случайных величин являются независимыми.
Плотность распределения случайного вектора ?= (|i, |п) в Rn называется еще плотностью совместного распределения случайных величин |ь |г, ... , In. Если величины gi, |г, • • • , in независимы и существуют плотности распределения pi каждой случайной величины |/ (так называемые одномерные плотности распределения), то существует и плотность совместного распределения p=plt причем в некотором специальном смысле р« есть произведение одномерных плотностей. Точно это означает, что
р(хь лг2, ... , хп) - Pi(xi)Pa(*a) ••• Рп{хп). {1)
Докажем формулу |1). Для этого нужно проверить интегральное определение плотности
77
?<i • • • i U)s5}* | p(%it • • •»*n№*i • • •
В
(2)'
Заметим, что левая и правая части (2) определяют (каю функции от В) счетно-аддитивные меры. Для доказательства совпадения двух счетно-аддитивных мер на всех борелевских: B^Rn достаточно показать, что они совпадают на любой системе множеств которая порождает борелевскую о-ал-
гебру. Рассмотрим множества В, имеющие вид В = В\Х XfijX ... ХВп, гдеBi — одномерные борелевские множества. Для таких В, в силу независимости случайных величин 61,12......1л, имеем
Р{& е5} = Р{|г <= ЯЛР& ев,}... Р{|в <= вп] * (3)
= П f Pi(x,)dx, = j . . . jpi(x1)pl(xt)...pn(xlt)dxldxt...dxn,
/¦I Ax... XB„
поскольку предполагается, что существуют одномерные плотности (последний переход представляет собой применение теоремы Фубиии, если речь идет об измеримых pi(xi), либо известное свойство кратных римановских интегралов, если речь идет лишь о кусочно-непрерывных р, (х,) и достаточно простых В\, В2, • • • , Вп). Равенство (3) означает, что если взять в качестве совместной плотности р (xit х2,хп) =pi(xi) р2(х2) ...
— Рп(хп), то интегральное определение плотности распределения удовлетворяется.
Если для произвольных (не обязательно независимых) случайных величин 1ь ... , In существует совместная плотность распределения, то существуют и одномерные плотности. Действительно, например,
