Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
В силу коммутативности (и ассоциативности) сложения вещественных чисел для получения плотности суммы п независимых случайных 'величин нужно взять (в любом порядке) последовательные композиции их плотностей. Например, для двух равномерных законов распределения на отрезке [0, 1] получаем после композиции так называемый треугольный закон распределения: плотность Ри+ъ,(У) равна у прн и равна 2—у при Ку^2 (и равна, разумеется, нулю при у<0 и у>2, так как складываются величины |i н ?2, принимающие значения между 0 и 1).
Можно выписать и плотность распределения суммы п независимых случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Впервые эту формулу получил, по-видимому, Н. И. Лобачевский, который занимался этим вопросом в связи с обработкой наблюдений для проверки гипотезы о том, что сумма углов треугольника, возможно, меньше двух прямых. (Впрочем, в экспериментальной проверке своей геометрии Н. И. Лобачевский успеха ие имел.) Но получающаяся формула неудобна для исследования.
Спрашивается, а как же исследовать композицию п более или менее произвольных законов распределения при п—*-оо? Ясно, что последовательное вычисление интегралов вида (3)
90
вряд ли приведет к какому-нибудь успеху. Общий метод исследования сумм независимых случайных величин, действительно, существует. Он основан на преобразовании Фурье. В результате применения этого метода получим так называемую центральную предельную теорему, которая состоит приблизительно в том, что распределение вероятностей суммы 5. при достаточно большом п близко к нормальному распределению. Поскольку нормальное распределение определяется своими параметрами — математическим ожиданием и дисперсией, — то распределение 5„ также приблизительно характеризуется этими параметрами: MS„=Mli + Mg2+... +Mg„ и DSn=DIt + D|2+... +D|n. Иными словами, чтобы охарактеризовать распределение S„, не нужно знать в деталях распределения вероятностей Ii, 12, ..., g„: достаточно знать Ми D|, * = 1,.... п, которые, вообще говоря, можно определить по экспериментальным данным (позднее увидим, как именно). Это замечательный результат (впервые для одинаково распределенных независимых случайных величин он был установлен Лапласом, хотя и без полного математического доказательства). Он производил большое впечатление на современников; ведь из него, в частности, вытекает следующая привлекательная возможность. Пусть 1ь g2, —, In — наблюдения некоторой физической величины а; можно на основании только лишь
чисел Ii, !2... In (ничего не зная нн о физике явления, ни о
способе наблюдения) определить с некоторой точностью М!( и Dg/ (предполагается, что точное значение М1,- совпадает с л), описать поведение суммы Ii + I2+... +1» и, в частности, решить вопрос о том, насколько среднее арифметическое из наблюдений (Ii + ... +!„)/« может отличаться от истинной величины а. (Впрочем, во второй части данной книги мы увидим, что в точном количественном смысле эта надежда не подтверждается.) Так или иначе, но весь XIX в. теория вероятностей вращалась вокруг центральной предельной теоремы. Возникавшие в конце XIX в. представления о зависимых случайных величинах использовали вместо дисперсии ковариацию (близкую по замыслу к дисперсии) и незначительно от нее отличающийся коэффициент корреляции.
Это направление мыслей сохраняется и до настоящего времени. В частности, в данной книге увидим, что иногда потребности практики, если даже они лежат в области описания поведения динамической системы, находящейся под воздействием случайных процессов, можно удовлетворить, не выходя за пределы математических ожиданий, дисперсий и ковариаций (соответствующий аппарат называется теорией марковских диффузионных процессов).
Что же касается произвольных функций от случайных величин, то для них столь далеко идущие упрощения, сводящие распределение вероятностей функции f(!i, 12, —. I») к немно-
»t
гнм параметрам распределений случайных величин gi, ..., вообще говоря, невозможны.
1.3. Преобразование Фурье. В теории вероятностей преобразование Фурье называется характеристической функцией.
Определение. Характеристической функцией случайной величины ? называется функция МО вещественной переменной /, задаваемая соотношением
f,(0 - Me1'?.
Записывая математическое ожидание через интеграл по распределению вероятностей щ, получим
/,(0- p'-'Md*), (П
—оо
а в случае существования плотности р*
М0= ? e“xp:(x)dx. (2)
ч ,
— эв
Таким образом, МО есть преобразование Фурье меры щ либо плотности р%.
Замечание. Интегралы Лебега от функций с комплексными значениями (в данном случае от е,(х либо от eilx) естественно понимаются в смысле интегрирования вещественной и мнимой частей. Мнимая единица i в показателе нужна для того, чтобы интегрировать ограниченные функции (тем самым интегралы существуют для любых случайных величин).
