Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
При определении параметров A, R и о модели на основании таблиц смертности согласие между условными вероятностями смерти, даваемыми формулами (1) н (5), и фактическими данными демографии получается неплохим, но при огромных объемах выборок, с которыми имеет дело демография, это согласие должно быть, вероятно, еще лучшим. Точнее говоря, оно, возможно, должно было быть лучшим, если бы на смертность людей можно было смотреть как на чисто статистическое явление. (Эти слова означают, что вероятность смерти отдельного человека дается формулами (1) и (5), в то время как смерти различных людей являются статистически независимыми событиями.) В следующей главе увидим, как подсчитать, насколько фактически частоты смерти могут (при чисто статистической модели) отклоняться от вероятностей. К сожалению, данные демографии слишком грубы, чтобы однозначно провести это сравнение, но прикидки показывают, что точность выполнения закона Гомперца—Мейкема должна была быть гораздо большей, чем это реально наблюдается. Население любой страны неоднородно по многим признакам: социальному, профессиональному, территориальному, генетическому и т. д. Эти различия сказываются в том, что одни группы населения могут иметь большую смертность, другие — меньшую. В масштабе всей страны получаем довольно точное описание смертности законом Гомперца—Мейкема. Это некоторое статистическое чудо, связанное с нивелировкой групповых различий в очень большой совокупности. Для отдельных групп населения закон, параметры которого определены по данным для всей страны, может давать гораздо худшее согласие (так именно и выделяются группы повышенного или пониженного риска). Наличие таких неоднородностей проявляется в том, что в масштабе целой страны закон Гомперца—Мейкема действует с меньшей точностью, чем наблюдалось бы в условиях идеальной статистической однородности. Наконец, для индивидуального прогноза продолжительности жизни (данного конкретного человека), как это, вероятно, совершенно ясно читателю, статистическое описание в виде закона Гомперца— Мейкема почти бессодержательно.
Г Л Л В А 3
СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 1. Постановка задачи и основы математического аппарата
1.1. Введение. Если какие-либо измерения либо статистические данные (либо что-нибудь иное) мы идеализируем в математической модели как значения случайных величин 1ь|2,...
1„, то достаточно часто нас будут интересовать значения каких-то функций f(%j, |2, .... In). Простейшей возможной функцией является сумма S,,=?i + ?2+... +Sn, с одной стороны, суммы случайных величин встречаются достаточно часто (при любой статистической обработке); с другой — в общем-то среди всех возможных функций f лишь для сумм (и сводящихся к суммам функций) существуют достаточно эффективные математические методы исследования получающихся распределений вероятностей.
1.2. Распределение суммы независимых случайных величин. Пусть случайные величины ?| и ?2 независимы, имеют плот-кости распределения pi(x) и р2(*)> дге/?1; спрашивается, как пойти плотность распределения их суммы 1i + ?2? Сумма есть значение функции f(xu x2)=xi+x2 от пары %и 1г- В принципе задачи о распределениях вероятностей различных функций от случайных величин решаются единообразно: сначала дополним интересующую нас функцию несколькими другими, чтобы получить взаимно однозначное (гладкое) соответствие. В интересующем нас случае суммы положим
У\=1Лхи х2)=х\+х2, y2=f2(xit хг)=х2. (1)
Соответственно рассмотрим случайные величины
Tll*=5l+52, Л2=52.
По лемме п. 3.3 главы 2 найдем плотность распределения случайного вектора л=(Ль Лг). а из этой плотности интегрированием по второму аргументу получим интересующую нас плотность случайной величины гц. Конкретно имеем: в силу независимости случайных величин |i и |2
РХх) = Риь(х„ *2) = P-JxJpJix) - Pi(xMxt).
Если f — это отображение (1), то обратное отображение/-1 имеет вид
xi=yi—y2, х2=у2-, (2)
якобиан отображений (1) и (2) равен 1. Поэтому Рг{У) “ К- Уг) = P^y—yMVi).
89
а следовательно,
PjU i) = (У i) = j’ Pi(yi—yt)P*i.V*)dVf (3)
—ao
Операция (3), дающая по плотностям pi и р2 плотность суммы Pm (*/i), называется композицией (или сверткой) плотностей Р\ и Рг-
На первый взгляд формула (3) означает следующее. Берется любое возможное значение г/2 случайной величины |2‘> если ?2“У2( то для того, чтобы сумма fci+Бг равнялась уи нужно, чтобы %\=у\—у2- Вроде бы в формуле (3) Р(1*=^ умножается на P{?i“i/i—уг) и все такие произведения суммируются в интеграле (3). Это, однако, совершенно ложный взгляд на вещи: не следует путать плотность вероятности (величину размерную, зависящую от выбора единицы измерения случайных величин) с вероятностью попадания случайной величины в точку (равной нулю в случае существования плот* пости распределения и в любом случае — безразмерной). Формула (3) получает вышеуказанный вид только потому, что якобиан отображений (1) и (2) равен 1; если бы мы имели дело не с суммой ?i,'+|2> а, допустим, с произведением ?1^2 или частным ?i/&2. то в аналогичную формулу вошло бы значение якобиана соответствующего отображения.
