Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Лемма. Преобразование Фурье гладкой финитной функции является суммируемой функцией.
Рассмотрим теперь (не обязательно гладкую) суммируемую функцию F(x), вообще говоря, с комплексными значениями. Определим линейный функционал, который эта функция задает на гладких финитных функциях, обозначаемый (F, f) либо F(f).
94
Определение. (F, f) = F(f) -¦ j F(x)f(x)dx.
Подставим в это определение выражение (2) функции f(x) через ее преобразование Фурье. Получим, изменяя порядок интегрирования,
где F(t) есть преобразование Фурье функции F(x), определяемое формулой
?(/)=. J eilxF(x)dx,
F — функционал (в пространстве функций от t), определяемый функцией F(t). (Перемена порядка интегрирования за* конна, так как в силу суммируемости F(x) преобразование Фурье F(t) ограничено; а тогда в силу суммируемости и ограниченности f(t) любой из интегралов, входящих в (4), сводится к интегралу в конечных пределах.)
Пусть теперь функция F(x) — не обязательно суммируемая на всей прямой (но локально, т. е. на любом конечном отрезке суммируемая, например, F(jc) = 1 или F(x)=x, W, х2 и т. д.). Из-за расходимости интегралов мы не знаем, как определить преобразование Фурье функции F(x). Запишем, однако, начало и конец формулы (4):
(F, /) - 2*(F, /). (5)
Договоримся понимать преобразование Фурье функции F как функционал F, действующий в пространстве преобразований Фурье основных функций, по формуле (5). Такое определение годится не только для неограниченной функции F(x), но и для любого функционала F над гладкими финитными функциями.
Замечание. На самом деле в теории обобщенных функций речь идет не о любых функционалах F, а лишь о линей*
95
ных непрерывных функционалах. Мы пока не уточнили, в каком смысле понимается сходимость гладких финитных функций (следовательно, не можем говорить и о непрерывности функционалов). Но в дальнейшем это сделаем.
Приведем примеры вычисления преобразования Фурье. Если F(jc) = 1, то
(?. Л = 2*(Л /)-2к j/(*)d.t = 2*7(0).
—ЭО
Функционал, ставящий в соответствие функции f значение /(0), называется б-функцией Дирака 6(0- Получаем, что
F = 2«б(*).
Функционал F в (5) можно называть обратным преобразованием Фурье от функционала F. Если обратное преобразование Фурье от /г=2л6(/) есть функция F=l, то обратное преобразование Фурье от 6(f) есть 1/2я. Это согласуется и с формулой
ОО —ОО
Прямое же преобразование Фурье от 6(дс) есть, очевидно, 1. Тогда обратное преобразование Фурье от 1 есть 6(х). Получается несколько экзотическая формула
00
J- j e-"*dt = 6(x),
— оо
точный смысл которой придается с помощью понятия обобщенной функции.
Еще интереснее получаются преобразования Фурье от растущих (при л:—>оо) функций. С ними можно познакомиться, например, по книге И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [13].
Пусть — распределение вероятностей случайной величины ?, ф — гладкая финитная функция. Имеем
МФ(|)= J<P(*)nt(<fc) = (|A5, Ф), (6)
—00
где левая часть является определением функционала №. стоящего в правой части. Подставим в (6) выражение ф через преобразование Фурье и сделаем перемену порядка интегрирования:
96
где ft — функционал, задаваемый характеристической фунК' цией:
Следует отметить законность перестановки порядка интегрирования. Все наши выделения не всех функций <р(дг), а лишь гладких и ограниченных нужны лишь для обеспечения законности этой выкладки (и ей подобных). Теорема Фубини состоит в том, что для интегралов Лебега (при наличии абсолютной сходимости) всегда можно менять порядок интегрирования. Абсолютная сходимость обеспечивается конечностью меры щ н интегрируемостью функции |<p(f)I^C| (1-И)2-Итак, если под щ понимать функционал, задаваемый мерой то его преобразование Фурье есть функционал, задаваемый характеристической функцией:
Мы решили проблему однозначности соответствия между распределениями вероятностей н характеристическими функциями: по характеристической функции мера определяется однозначно. Действительно, зная f\(t), получаем
для любой гладкой финитной функции <р. Но значениями (jis, ф) мера цс определяется однозначно.
В самом деле, пусть [а, Ь) — полуоткрытый интервал. Рассмотрим гладкую функцию ф„, равную 1, на интервале [а, Ь—1/л], а на интервале (а— 1/я, а) и (b—l/п, Ь) принимающую значения, заключенные между нулем и единицей (и обращающуюся в нуль вне интервала (а—1/л, Ь)). Значения (щ, ф„) определены однозначно. Но при п-*-оо
в каждой точке хе#1. Следовательно, по теореме о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
fz(t) = Ме"г — J eitx\^{dx)\ fz(t) = J »-“x\%z(dx).
ф„(*) — b>(*)
7—25*7
97
(tv Фп) = J Vn(x)\>z(dx) -*¦ j i(a. b,(jc)|i5(dx)=|i?{[e, 6)>.
Таким образом, {[<*• &)) определяется однозначно для любого интервала [а, 6). Следовательно, однозначно определена и мера (по теореме о продолжении меры).
