Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
|(и>) = ^ <ц!^(u>), t)(u>) == ^ bflBjio),
то образуем систему множеств 0,/=Л/5/ и запишем 1(a) и т)(о>) как линейные комбинации индикаторов множеств А/.
Для предельного перехода от элементарных случайных величин к произвольным отметим оценку
[jl(o))P(da))|<sup|g(«))|, (7)
непосредственно вытекающую из (2) в силу того, что-^Р(Л0=1.
Пусть теперь 1(о>) — произвольная (только лишь измеримая) функция, ?п(ш) — последовательность элементарных функций, равномерно сходящаяся к ?(о>):
sup |&(u>) — |п(ш)| -* 0 (п-> оо). (8)
«60
Покажем, что последовательность ^ %п(и>) P(da>) фундаментальна. Действительно, пусть при тп, я>ЛГ |1(о>)— 1«(ш) |<е, Ц(о>)—6п(ш) |<е.
Тогда, в силу (6), (7) и того, что ||m(a>)— ?п(о>) |<2е,
|_f6m(o,)P(do,)-JU«>)P(d«>)l = |J(U«>)-lnHP(d®)K2e,
что и требовалось доказать.
Итак, если выполнено (8), мы можем положить
??(«>)P(d«>) - lim f ?» P(rfo), (9>
il Л-*ао о
причем уже доказано, что предел в правой части (9) не зависит от выбора последовательности |п(о>), равномерно сходящейся к |(о>). Осталось показать, что для каждой измеримой |(о>) существует хотя бы одна последовательность
?п(б>) элементарных функций, равномерно сходящаяся к |(с>). Построим такую последовательность следующим образом. Пусть п — натуральное, k — целое.
«6
Положим
Это означает, что для таких «>, что ?/«<?(u>X(&+l)M, функция |я(о>) принимает значение к/п (множества Л*1 измеримых в силу измеримости функции |(<»)). Очевидно, что ||(ш) —|„(ш)К 1/п. Таким образом, можно записать, что
Суммы, входящие в правую часть (10), называются интегральными суммами Лебега. Легко видеть, что если при каком-нибудь п существует (в смысле абсолютной сходимости ряда по k) такая сумма, то существуют и все остальные. (В противном случае говорим, что интеграла Лебега от |(а>) не существует.)
Определение. Математическим ожиданием М| случайной величины | называется значение интеграла Лебега:
(в предположении, что этот интеграл существует).
Замечание. Простота построения интеграла Лебега основана на возможности думать (непротиворечивым образом) о мере Р{&/я<6<(к + 1)/л}=* Р{«:Л/и<Ъ(ШХ <(fc + l)/п). Даже если Q —отрезок [0, 1], а 5(а>) — гладкая функция вещественной переменной о>е[0, 1], множества {и>:Л/л<|(о>)<(Л + 1)/и) могут быть достаточно сложными (вспомним о поведении функции ?(ш) — <¦>* sin(l/co) в окрестности точки и> — 0; путем сдвига точки в=0 и суммирования подобных функций с быстроубывающими коэффициентами особенности такого рода можно нагромоздить по всему отрезку [0, 1], не теряя гладкости функции). Поэтому добраться до возможности измерять длину множеств {o>:Jfe/n<|(u>)<(fc + IV»), отправляясь от архимедова понятия длины, достаточно сложно. Этот путь и пройден теорией меры.
С другой стороны, интеграл Лебега имеет тот недостаток, что его непонятно как вычислить (в общих пространствах й отсутствует какой-либо аналог формулы Ньютона — Лейбница). Тем более интересно будет увидеть в следующем параграфе, что одна лишь возможность думать об интеграле Лебега ведет к некоторым формулам исчисления, которые, по-ви-
5* «7
Л(м)Р(Л,)-Иш56п(“)Р(Лв) =
П А-»ооП
M*=?SHP(d«0
димому, невозможно (либо крайне антиэстетично) получать другим путем.
§ 3. Основные формулы исчисления вероятностей
Безнадежно, пожалуй, пытаться свести все вычисления вероятностей, математических ожиданий и т. д., которые встречаются в математических и прикладных вопросах, к небольшому количеству основных формул. Но если не все, то очень многие вычисления сводятся к двум основным формулам, первая из которых относится к вычислению математических ожиданий, а вторая — к преобразованию совместной плотности распределения нескольких случайных величин при замене переменных.
3.1. Вычисление математических ожиданий. Пусть | — случайная величина, принимающая значения в некотором измеримом пространстве (для простоты рассмотрим случай |(а>)е/?п). Напомним, что распределением случайной величины | называется мера ц{, определяемая соотношением щ(В) = Р{|е5}, В — борелевское подмножество Rn. Пусть на Rn задана функция f(x), хе/?п, принимающая значения в R1. Выразим сейчас математическое ожидание случайной величины /(|) через распределение ц«.
Теорема 1. Имеет место равенство
причем оба интеграла Лебега в (1) существуют одновременно.
Доказательство. Покажем, что лебеговы интегральные суммы у обоих интегралов (1) одинаковы. Действительно, преобразуем интегральную сумму для левого интеграла следующим образом:
(1)
few оо
вв
-21 -H'!,wefr ^)1-*—00
причем в этих формулах /“' обозначает полный прообраз; f~'([kln, (*-4- л))—борелевское множество (в силу измеримости функции /). Последняя сумма в этих формулах есть лебегова сумма для правого из интегралов (1). Теорема доказана.
