Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
На самом деле, при длительном статистичгском исследовании прекрасно можно отличить гипотезу Н0 от гипотезы //0,1 и гипотезу Я0,i от гипотезы Я0,2 и т. д., если, конечно, предположить, что доля а стабильна во времени. Можно оценить и объем необходимого для этого статистического материала. Вообще, при массовых и (или) продолжительных статистических исследованиях поведения в эксплуатации тон или иной продукции могут быть обнаружены очень тонкие на первый взгляд эффекты, которые вызовут изумление непосвященного. Но для подобных статистических обработок нужно знать теорию вероятностей примерно на уровне центральной предельной теоремы, которой мы еще не изучали.
ГЛАВА 2 АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА
§ 1. Введение
Крайне элементарная в математическом отношении первая глава настоящей книги имела целью дать общее понятие о предмете теории вероятностей и о возможностях ее приложений. На самом деле с дискретной моделью связаны глубокие и интересные аналитические задачи (см., например, первый том книги В. Феллера [40]), совершенно не отраженные в первой главе. Но укоренившееся в физико-математических науках представление о числовом (пространственном) континууме делает нежелательным такой учебник теории вероятностей, который слишком долго не желает замечать этого представления. Действительно, конечное число п испытаний Бернулли требует конечного множества элементарных событий вида a>=(ei,...,е„), где е,=0 или 1, но как только мы поставим вопрос типа: «какова вероятность того, что в последовательности испытаний Бернулли нечто когда-нибудь случится» (например, произойдет подряд 100 успехов, за которыми последует ровно 100 неудач), нам потребуется уже счетное число испытаний Бернулли. Множество
52
счетных последовательностей <о= (еье„,...) имеет мощность континуума, и дискретная модель вероятностного пространства здесь бессильна.
Любопытно, что если вероятность успеха в испытаниях Бернулли принять равной р = ‘/г и точке <o=(ei, ...,е„,...) поставить в соответствие точку x='2ti2rt отрезка [0, 1], то все точки отрезка окажутся равновероятными (поскольку все наборы (ei,..., е„,...) равновероятны, но только в каком смысле?). Это будет случайное бросание точки х на отрезок [О, 1].
Представление о случайном бросании точки ? на числовой континуум (—оо, оо) естественно возникает н в связи с вопросом о математической модели для физического измерения, подверженного случайным ошибкам; для случайных моментов времени, когда происходят физические события (типа момента распада ядра атома и т. п.), подобные ситуации весьма разнообразны.
Элементарную ситуацию, рассмотренную в первой главе, можно назвать ситуацией случайного выбора элемента данного конечного или счетного множества. Сейчас мы видим, что нужно уметь охватить математической моделью ситуацию случайного выбора точки из множества, имеющего мощность континуума. Но и это не предел: в экспериментах, когда записывается некоторая функция (допустим, функция времени), при наличии случайности получается случайная функция. Иначе говоря, речь идет о выборе наудачу такой функции из заданного множества функций. Как известно, множество функций аргумента, пробегающего множество мощности континуума, имеет (вообще говоря) мощность большую, чем континуум.
В современной теории вероятностей математической моделью случайного выбора является мера, заданная на соответствующем множестве элементарных событий. Эта концепция сформулирована 60—70 лет тому назад в виде так называемой «аксиоматики Колмогорова». В разработке ее участвовали кроме А. Н. Колмогорова ряд выдающихся ученых (упомянем французского математика Э. Бореля, работавшего в этой области несколько раньше А. Н. Колмогорова, и американского математика Дж. Л. Дуба, работавшего несколько позже, а также советского математика А. Я. Хинчина, работавшего одновременно с А. Н. Колмогоровым). Тот, кто начинает изучение теории вероятностей, должен понимать, что эта концепция не обладает такой простотой, ясностью и законченностью, как классическая концепция дискретного пространства элементарных событий; более того, кроме ряда значительных преимуществ она имеет и недостатки. Классическая концепция производит впечатление чего-то столь же вечного, сколь вечна элементарная арифметика; при знаком-
53
стве с общей аксиоматикой все время возникает желание что-то изменить. Нужно понимать, что первоклассные ученые, создавшие эту аксиоматику, в свое время тщательно продумали, вероятно, все возможные варианты. Попытки изменения будут, следовательно, беспочвенными, если исходить из тех же знаний (имеются в виду прежде всего представления о строении континуума), которыми располагали создатели аксиоматики. Наоборот, при изменении представлений о природе континуума (если бы, например, была построена состоятельная физико-математическая теория дискретного пространства), возможно, уместно было бы поставить вопрос о новой аксиоматике теории вероятностей.
Теория меры (в том виде, как она излагается, например, в учебнике А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [23]) предполагается в данной книге известной. Но некоторые принципиальные моменты будут по ходу изложения напоминаться. Основным фактом является существование счетно-аддитивной меры Р на подмножествах пространства й элементарных событий, где й может быть весьма общим (отрезок, прямая R\ евклидово пространство Rn и т. д. и даже пространство функций). Рассмотрим подробнее смысл этого «существования».
