Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Р{?e в}=P{6i= ei» li — ®ti • • • I 5я = ==
= ПР{5| = в1> (5)
i-l
(для доказательства достаточно положить в определении (4) i4j={ai}, А2={а2}, ...,An=ian))• Наоборот, из (5) вытекает независимость в совокупности событий (4). Действительно, например, для двух событий имеем
P{?i ?= Ai> 2 P(li = ai» S* = a2) =
в|6Ац 0|6A*
= 2 P{5i = a,}P{« = aa} =
- 2 P{Si-«i) • 2 P«, = e,}-P{iiSA> P{5«e^>.
<*i€Ai 016^1
Та же самая выкладка справедлива для любого числа событий (4).
Наиболее простой способ построить независимые случайные величины состоит в том, чтобы построить й как произведение 0=?У‘>ХЙ(2)Х — Х?Уп) вероятностных пространств и для точки ^^(cot1), ю(2>,.... ©<п)) определить случайные величины |ь |г, ..., |п как такие функции от со, что |i зависит лишь
38
от ы[,>, 1г — лишь от (i><2), |п — лишь от ©(п). Выкладка, проведенная в § 4 для случая п=2, без труда обобщается на произвольное п и показывает, что так определенные случайные величины будут независимы в совокупности.
Лемма 2. Если случайные величины | и т) независимы и существуют Щ и Мт], то существует М|т] и М|т]=М{;Мт] (математическое ожидание произведения независимых величин равно произведению их математических ожиданий).
Доказательство. Полагая в соотношении (3) § 5 f(x, у) —ху, получаем
М&ч — =¦fi — b} = '^lab Р{^=а)Р{г|=Ь}
а,6 в# 6
= 2аР(|«а} • • Мт),
а Ь
причем выкладка справедлива, если ряды —а) и
а
V6P{5 = 6} сходятся абсолютно. Лемма доказана. ъ
Лемма 3. Функции от независимых случайных величин суть независимые случайные величины.
Эта лемма означает, что если fu fa> fn — произвольные функции вещественного переменного, а |ь |2..... |п — неза-
висимые случайные величины, то случайные величины т)(= — МЫ. т]2=ЫЫ, .... Ч«—МЫ также независимы. Действительно, для любых числовых множеств Аи Ait ..., Ап положим Bi=fTl (Ai), Bi=f~z(Az), ..., Вп—!п*(Ап), где под знаком /Г1 понимается взятие полного прообраза. Тогда события 112^X2. —. TjnSi4„, совпадающие с событиями
%le=fri(Al)=Bu 1 г<=&(Ах)—В2, .... (Ап)=Вп,неза-
висимы в силу независимости случайных величин |ь |г, ....
••¦I
Лемма 4. Ковариация двух независимых случайных ее-личин |, 11 равна нулю.
Действительно, в силу лемм 2 и 3
cov(t, Л)=М(|-М1) (t]-Mti)= М(|-М|) М(т1-Мл)=0.
Лемма 5. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. (Лемма 5 вытекает из лемм 1 и 4.)
Теоремы о свойствах математического ожидания и дисперсии дают средства, иногда позволяющие избежать сложных вычислений. Подсчитаем для примера математическое ожидание и дисперсию биномиального распределения. Представим число успехов ц в п испытаниях Бернулли в виде
11 = Ц1 + Ц2 + ... + Цп.
39
где случайная величина ц,- связана с исходом лишь i-ro испытания: ц, = 1, если в i-м испытании был успех, и ц,=0 — в противном случае (если угодно, |ii(ci>), где © — набор нулей и единиц, равна i-ii координате набора ©). Случайные величины ць цг...... М» независимы (как функции от различных
координат точки прямого произведения вероятностных пространств); легко видеть, что 1Лц,=р, Dn;=lW|*J — (1Лц,)- = =р—p2=pq. Поэтому Мц = пр. D\i=npq. Отправляясь от определения биномиального закона, мы получили бы
1W«* = S тС'п p"'qn~m, Da = ? (m —
ni—U rn—0
и сразу не ясно, что такие суммы редуцируются к очень простым выражениям.
С другой стороны, свойства математических ожиданий и дисперсий позволяют получить весьма общий факт, называемый законом больших чисел.
6.4. Закон больших чисел. Статистиков XVII в. поражал тот факт, что средние арифметические из большого количества каких-то величин обнаруживали гораздо меньшие колебания, чем сами слагаемые. Это означает, что если взять, например, среднюю за ряд лет урожайность чего-либо и сравнить ее со средней урожайностью того же самого за другой ряд лет, то разница между средними будет обычно горазда меньше, чем колебания урожайности от года к году. Иными словами, малая урожайность в какие-то годы компенсируется большей урожайностью в другие годы, а в целом получаются колебания около среднего. Чтобы понять, что здесь удивительного, надо иметь в виду, что могло бы быть совсем не так: в случае систематического изменения погодных условий (или, например, в XX в. — растущего применения удобрений) средине за два ряда лет урожайности могли бы отличаться сильнее, чем урожайность в близкие годы. В дальнейшем устойчивость средних была проверена на другом материале, например на измерениях тех или иных физических величин. Возник вопрос о теоретическом объяснении факта устойчивости средних. В XIX в. это объяснение видели в законе больших чисел теории вероятностей. С точки зрения XX в. оно состоит из двух частей: 1) представления о наблюдаемых значениях как о значениях неких случайных величин (в классической теории вероятностей эти величины независимы, в современной — могут быть и зависимы); 2) математической теоремы, устанавливающей факт устойчивости средних для сумм случайных величин.
