Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
В случае Rn можно начинать с параллелепипедов, или с шаров (параллелепипед — открытый — есть счетная сумма шаров и наоборот), или с углов вида
{х= (*1...Хп) :*1<0|...хп<ап}.
Бели потребуются борелевские множества на сфере, можно начинать со сферических треугольников (многоугольников) либо с кругов на сфере и т. д.
Измеримым пространством, вообще, называется некоторое множество, на котором задана некоторая a-алгебра его подмножеств (меры не предполагается).
Измеримым отображением называется такое отображение одного измеримого пространства в другое, при котором прообразы измеримых множеств измеримы (в смысле соответствующих a-алгебр). Функцией называется однозначное (но не обязательно взаимно однозначное) отображение. Понятие случайной величины связано с измеримой функцией, отображающей пространство (Я, ®) в какое-нибудь другое измеримое пространство. Дадим определение случайной величины, принимающей вещественные значения, т. е. отображающей (Q. ®) в R1 с a-алгеброй борелевских подмножеств.
Определение. Случайной величиной называется измеримая функция g=!(a>) со значениями в R1.
Измеримость означает, что для любого борелевского B^R1 его полный прообраз измерим, т. е.
?-*(?)-<ш:?(ш)б?}бв.
Лемма 1. Для любой функции ?=|(а>) со значениями в R1 множество таких подмножеств B<=Rl, что |-1 (В)е в, образует а-алгебру.
Доказ ател ьство. Полный прообраз R1 есть Q; полный прообраз пустого множества 0 есть пустое множество, т. е. R1 и 0 обладают тем свойством, что их полные прообразы принадлежат в. Далее, операция взятия полного прообраза
61
перестановочна с теоретико-множественными операциями; дополнения, суммы и пересечения:
l~W\B) - I-1 (LJ Д.) = LI i-1 (5а),
(здесь а пробегает любое, не обязательно счетное, множество). Если же а пробегает счетное множество и то и U!-1 (Sa)e ® (и аналогично для пересечения), так как
a
® —a-алгебра. Это и доказывает лемму.
Следствие. Для того чтобы функция | была измеримой, достаточно, чтобы ?-1(В)е®для такого набора множеств В, что наименьшая о-алгебра, содержащая набор множестве, содержит о-алгебру борелевских подмножеств RK
Таким образом, достаточно, например, потребовать, чтобы для любого с,—оо<с<оо, множество
I-1 {(— °°, л)} = {“> '• &(“*) < а} е ®.
Кроме случайных величин, принимающих вещественные значения, бывают случайные величины с комплексными значениями, случайные точки многообразий, случайные кватернионы, матрицы, функционалы, операторы и т. д. Все они в рамках основных понятий теории вероятностей по Колмогорову определяются единообразно, как только в множестве значений соответствующего неслучайного объекта введена какая-нибудь о-алгебра. Если на этом множестве имеется какая-то топология (т. е. система открытых подмножеств; открытые подмножества — кроме экзотических случаев — не образуют о-алгебры), то обычно берется о-алгебра, порождаемая открытыми подмножествами. Она называется борелевской о-алгеброй.
Таким образом, описание самых разнообразных случайных объектов выглядит весьма естественно в системе основных понятий по Колмогорову.
Рассмотрим понятие функции от случайной величины. В теории вероятностей вместе со случайной величиной § часто приходится рассматривать различные функции, вроде sin |, 1п? и т. д. Это понятие также находит весьма естественное место в системе основных понятий.
Определение. Функция f(x) из R1 в R1 называется измеримой по Борелю, если для любого борелевского fls/?1 полный прообраз f~l(B)={x:f(x)^B} есть также борелев-ское множество.
Лемма 2. Измеримая функция от случайной величины есть снова случайная величина.
62
Действительно, пусть f—измеримая по Борелю функция. Образуем f(%) (и) =/[!(<»)]. Имеем для борелевского В
(ю /[S(®)]e5}={a>: ?(c>)ef-1(5)}e®,
поскольку f-1 (5) — борелевское множество.
Замечание. Совершенно ясно, что не обязательно брать функцию f такую, что f: Rl-*-R\ а можно брать любую функцию, отображающую одно измеримое пространство в другое (и являющуюся измеримой).
Предполагается, что из курса теории меры читателю известно, что запас измеримых функций весьма широк, в частности обычные функции анализа являются измеримыми. Таким образом, возможность образовывать функции /(1), где f(x) — измеримая функция (может быть одной, а может быть н нескольких вещественных или комплексных переменных), заведомо обеспечивает потребности любых приложений. Широта запаса измеримых функций связана с тем обстоятельством, что предельный переход сохраняет свойство измеримости; если /(jc) — lim /„(-<) в каждой точке х,.
П -*СС
где fn — измеримые функции, то f(x) также измеримая функция (никакой равномерной сходимости ие требуется). В частности, все непрерывные функции измеримы как пределы многочленов. (Измеримость же многочлена устанавливается как измеримость суммы одночленов; измеримость одночлена устанавливается непосредственно из определения.) Можно начинать не с многочленов, а, наоборот, со ступенчатых функций 2а/^,(х), где Ai — измеримые множества, 1л,— индикаторы этих множеств, — все равно после предельного перехода получим тот же запас измеримых функций.
