Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
3. Проверка статистических гипотез. Каким должно быть критическое множество для гипотезы Но? Без долгих размышлений заключаем, что против гипотезы Н0 может свидетельствовать лишь малое число изюмин х в купленной для исследования булочке, но никак не большое. Критическая область, следовательно, должна иметь вид S={x; *<?}, где k предстоит выбирать из соображений уровня значимости (или функции мощности). Уровень значимости а в нашем случае — гарантия честного работника от ложного подозрения; а надо брать малым. Попробуем два значения: ai=0,01 и а2=0,001. Из таблиц закона Пуассона получаем:
для ai значение k=k\=Z (P{jr<3/tf0}«0,010),
для сс2 значение k=k2=\ (Р{х<1/Я0}«0,0005).
Приведем отдельные значения функции мощности. Для <х=0,1 (украдена 1/10 изюма)
Р{х<3/Я0,1}«0,020, Р{лг<1/ЯоЛ}~0,0011.
Наша моральная шкала и шкала качества готового изделия резко не совпадают: по моральной шкале случаи а= 0 и а=0,1 резко различны, но в случае а=0,1 среднее число изюмин в булочке снижается лишь на 10%. Соответственно если невиновному человеку предоставить гарантию: вероятность ложного обвинения не выше 0,01, то того, кто украл 1/10 изюма, мы обвиняем лишь с вероятностью 0,02 (а если гарантия: не выше 0,001, а фактически 0,0005, то при краже 1/10 изюма вероятность обвинения 0,0011). Для а=0,5 (украдена половина изюма)
Р{х<3/Н0,5} * 0,26, Р{х< 1/Н0,5} * 0,040.
Второе из этих чисел крайне мало, что связано с малосты» 02=0,001.
Таким образом, проверка статистических гипотез не позволяет создать достаточно резкого различия между ситуацией Н0 и На при аФ0, что связано с неэффективностью контроля по единичному изделию. Действительно, для отличения гипотез Н0 н #0,1 нужно отличить значения пуассоновского параметра Я=10 и Я,=9. Поскольку отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания К составляет (для закона Пуассона) величину порядка Т/1., ясно, что значения Х=10 н А,=9 различить трудно. Выход может состоять в том, чтобы взять для исследования не одну булочку, а, скажем,^ 100. Тогда нужно будет отличить Я =1000 от Я=900 при УЯ«30, что гораздо легче. Впрочем, подсчет 50
числа изюмин в 100 булочках выглядит непривлекательно с точки зрения трудовых затрат на такой подсчет.
Гипотезы Но и Н0.ъ отличаются гораздо более заметно: вероятность обвинения, если украдена половина изюма, во много раз больше вероятности обвинения честного человека. Очевидно, на этом и нужно сыграть, если стремиться использовать статистические методы.
4. Какая польза может быть от статистических методов? Вышеприведенные расчеты ясно показывают, что для окончательного решения вопроса о наличии правонарушения статистические методы непригодны (они могут составлять лишь часть доказательств). Должны применяться более прямые методы, но их применение трудоемко. Между тем, если предположить, что, скажем, 80% всех работников честны и лишь 20% нечестны, то в 80% случаев усилия будут потрачены впустую. Рассмотрим применение статистической проверки гипотез лишь для предварительного отбора объектов: по-английски это называется screening, т. е. просеивание. Будем проверять гипотезу Н0 не на малом, а на большом уровне значимости, скажем, на уровне а=аз=0,15, делая вывод не о наличии или отсутствии правонарушения, но лишь о желательности или нежелательности более непосредственной проверки. В этом случае k=k3=6, причем Р{х<6/#0}=0,13. Это означает, что если вместо чисто случайного выбора объекта для проверки принять чуть более сложную процедуру — сначала случайно выбирается хлебозавод, потом из его продукции берется одна булочка и проверка производится лишь в том случае, когда число изюмин в ней хсб, — то проверка будет напрасной лишь с вероятностью 0,8-0.13= =0,104. Иначе говоря, лишь 10% усилий будут потрачены впустую.
Этот оптимистический вывод нужно правильно понять. Речь идет о сравнении двух следующих ситуаций: 1) в начале рабочего дня случайно выбирается хлебозавод, на который сотрудники едут с проверкой; 80% рабочих дней в этом случае будет потеряно впустую; 2) в начале рабочего дня случайно выбирается хлебозавод, берется булочка из его продукции, и если число изюмин в ией х<6, то сотрудники едут иа этот завод, а если х>6, то занимаются другим полезным делом (в этом случае день не потерта); тогда потерянных впустую дней будет 10% от всех рабочих. Общее число проверок хлебозаводов во второй ситуации сильно сократится, за счет чего и произойдет в основном сокращение числа потерянных впустую дней. Если возникает какая-либо третья ситуация: в начале рабочего дня случайно выбираются один за другим хлебозаводы, берутся булочки нз их продукции до получения результата *<6, а тогда уже следует проверка, то эффективность такого метода будет, конечно,
** 51
не 90%, а гораздо ниже (ее нельзя подсчитать количественно, не задаваясь распределением вероятностей параметра а).
Сокращая напрасные потери времени, наш скрининг незначительно уменьшает вероятность обнаружения того, кто украл половину (или более) изюма. Таблицы закона Пуассона показывают, что P{x<6/tfo,s}«0,76. Это означает, что при повторении процедуры случай а=0,5 ловится довольно быстро. Случай же а=0,1, конечно, ловится плохо: в нашей задаче числа подобраны так, чтобы была ясна необходимость исследования возможностей статистического метода.
